¿Es esta generalización de álgebra boleanas una variedad?

Question

Estoy interesado en la clase de estructuras de $\langle S,\top,\neg,\wedge\rangle$ definido por los axiomas:

1. $p \wedge q=q \wedge p$
2. $p \wedge (q \wedge r) = (p\wedge q)\wedge r$
3. $p = p \wedge p$
4. $p = \neg\neg p$
5. $p \vee(q\wedge r) = (p\vee q)\wedge(p\vee r)$
6. $p = p\wedge \top$
7. $p \vee\top = p \vee \neg p$
8. Si $p \wedge q = p \vee q$$q \wedge r = q \vee r$,$p \wedge r = p \vee r$.

donde $p \vee q =_{df} \neg(\neg p \wedge\neg q)$.

Tengo tres preguntas acerca de esta clase de estructuras:

(i) forman una variedad?

(ii) Si es así, ¿cuáles son algunas de las ecuaciones que las definen?

(iii) Si no, ¿qué es un ejemplo de una estructura satisfactoria 1-7 pero no 8?

(He leído acerca de Birkhoff de la HSP teorema, pero tener sólo un limitado fondo en álgebra no estoy seguro de cómo ir sobre el intento de aplicar).

Algunos antecedentes: Estas estructuras son una generalización de las álgebras Booleanas en la que ni la absorción de leyes ni $p \vee \top = \top$ están garantizados para mantener. Son isomorfos a la clase de estructuras de $\langle P, \top, \neg, \wedge\rangle$ tal que, para algunos el álgebra Booleana $A = \langle S_A,\top_A,\neg_A,\wedge_A\rangle$ y delimitada cumplir-semilattice $B = \langle S_B,\wedge_B,\top_B\rangle$,

• $P\subseteq S_A\times S_B$;
• $\top = \langle\top_A,\top_B\rangle\in P$;
• $\neg: P\to P$ tal que $\neg\langle a,b\rangle = \langle\neg_Aa,b\rangle$;
• $\wedge: (P\times P)\to P$ tal que $\langle a,b\rangle\wedge\langle a',b'\rangle=\langle a\wedge_A a',b\wedge_B b'\rangle$.

Intuitivamente, podemos pensar de $\langle a,b\rangle\in P$ como 'la proposición' con la 'lógica de contenido' $a$ y "no-lógicos de contenido' $b$, donde la idea es que la lógica de los contenidos forman un álgebra de boole, las proposiciones " no-lógico del contenido de agregado en virtud de conjunción y se mantuvo sin cambios por la negación, y la tautología $\top$ tiene un mínimo de no-lógicos de contenido.

Actualización: me di cuenta de la parte (iii) de mi pregunta: Kleene débil de los tres valores de la tabla de verdad es un modelo de (1)-(7), pero no de (8). http://en.wikipedia.org/wiki/Many-valued_logic#Bochvar.27s_internal_three-valued_logic_.28also_known_as_Kleene.27s_weak_three-valued_logic.29

Answer 1

Contraejemplo: Por el teorema de Birkhoff, forman una variedad sólo si son cerrados bajo homomórfica imágenes. Vamos $S = \{0,1\}\times\{0,1\}$; $\top = \langle 1,1\rangle$; $\neg\langle x,y\rangle = \langle 1-x,y\rangle$; y $\langle x,y\rangle \wedge \langle x',y'\rangle = \langle x\cdot x',y\cdot y'\rangle$. Vamos $S' = \{-1,0,1\}$; $\top' = 1$; $\neg'x = -x$; y $x \wedge' y = x\cdot y\cdot\textrm{max}(x,y)$. Es fácil comprobar que $A = \langle S,\top,\neg,\wedge\rangle$ es un miembro de la clase de estructuras definidas anteriormente, y que $B = \langle S',\top',\neg',\wedge'\rangle$ es isomorfo a la debilidad de Kleene de la tabla de verdad se menciona en la versión actualizada de la pregunta. Ahora, considere el homomorphism $f: A\to B$ s.t. $f(\langle 1,1\rangle) = 1$, $f(\langle 0,1\rangle) = -1$, y $f(\langle 0,0\rangle) = f(\langle 1,0\rangle) = 0$. Desde $f$ es surjective, es suficiente para mostrar que $B$ no es un miembro de la clase definida, que no lo es, ya que la sustitución de $-1,0,$ $1$ $p,q,$ $r$ da un contraejemplo a 8.