Demostrar que una cadena es una serie de composición para un anillo matriz

Question

Considere el anillo $$ R = \begin{pmatrix} \mathbb{Q} & 0 \\ \mathbb{R} & \mathbb{R} \end{pmatrix} $$ como una izquierda $R$ -sobre sí mismo. Quiero demostrar que la siguiente es una serie de composición $$ 0=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\subset \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \mathbb{R} & 0 \end{pmatrix}\subset \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \mathbb{R} & \mathbb{R} \end{pmatrix}\subset \begin{pmatrix} \mathbb{Q} & 0 \\ \mathbb{R} & \mathbb{R} \end{pmatrix}=R $$ para $R$ .

Así que considero los cocientes de los términos, por ejemplo $ \begin{pmatrix} \mathbb{Q} & 0 \\ \mathbb{R} & \mathbb{R} \end{pmatrix} / \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \mathbb{R} & \mathbb{R} \end{pmatrix}$ . Veo que esto es isomorfo a $\mathbb{Q}$ . ¿Puedo usar esto para demostrar que el cociente es simple?

Del mismo modo, ¿cómo puedo hacer lo mismo para el cociente $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \mathbb{R} & 0 \end{pmatrix} / \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ?

Answer 1

$ \begin{pmatrix} \mathbb{Q} & 0 \\ \mathbb{R} & \mathbb{R} \end{pmatrix} / \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \mathbb{R} & \mathbb{R} \end{pmatrix}$ . Veo que esto es isomorfo a $\mathbb{Q}$ . ¿Puedo usar esto para demostrar que el cociente es simple?

Probablemente esto no sea una explicación suficientemente transparente de por qué es simple. Puedes, si quieres, empezar con el hecho de que es isomorfo a $\begin{pmatrix} \mathbb Q & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ como una izquierda $R$ y observe que para cualesquiera dos elementos no nulos $\begin{pmatrix}x & 0\\0&0\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}y & 0\\0&0\end{pmatrix}$ , puede encontrar $\begin{pmatrix}q & 0\\r&s\end{pmatrix}$ tal que $\begin{pmatrix}q & 0\\r&s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x & 0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y & 0\\0&0\end{pmatrix}$ . (Cuando un anillo actúa transitivamente sobre los elementos no nulos de un módulo, eso significa que es simple).

Una lógica similar es válida para $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \mathbb{R} & \mathbb R \end{pmatrix} / \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \mathbb R & 0 \end{pmatrix}\cong\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0&\mathbb R \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \mathbb{R} & 0 \end{pmatrix} / \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cong \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \mathbb R & 0 \end{pmatrix}$