El automorfismo de una categoría envía objetos a objetos isomorfos?

Question

Pregunta rápida para mi mejor comprensión:

Supongamos que tiene una categoría aditiva $\mathcal{C}$ y un automorfismo $\Sigma$ de esta categoría. ¿Tiene $\Sigma$ ¿enviar objetos a objetos isomorfos? Si no lo hace en general, ¿cuándo puedo esperar que lo haga (bajo qué supuestos razonables)? Pregunto esto para aclarar mi comprensión mientras leo sobre las categorías trianguladas.

Answer 1

No, esto es muy pocas veces cierto, incluso con hipótesis extremadamente bonitas sobre $C$ . Considere la categoría de $\mathbb{Z}$ -espacios vectoriales graduados y el automorfismo $\Sigma$ que desplaza la graduación hacia arriba en $1$ . Los objetos $c$ tal que $c \cong \Sigma c$ son los $\mathbb{Z}$ -espacios vectoriales graduados, cada uno de cuyos trozos graduados tiene la misma dimensión.

Lo cierto es que $\Sigma c$ tiene las mismas propiedades categóricas que $c$ (es decir, propiedades que sólo dependen de cómo $c$ se sienta en el interior $C$ ). Por ejemplo, $c$ es proyectiva si $\Sigma c$ es proyectiva. Esto es similar a cómo los elementos de, por ejemplo, un anillo no necesitan ser fijados por automorfismos del anillo, pero dos elementos relacionados por un automorfismo comparten propiedades teóricas de los anillos como ser nilpotentes.