Suma de series infinitas con arctan

Question

Estoy tratando de encontrar el valor de la siguiente suma (si existe):

$$ \sum_ {n=1}^{ \infty } \left ( \arctan\left ( \frac {1}{4}-n \right )- \arctan\left (- \frac {1}{4}-n \right ) \right )$$ donde, $ \arctan $ representan la función tangente inversa - $ \tan ^{-1}$ .

Intenté usar la idea de la serie de telescopios y la secuencia de sumas parciales pero no pude cancelar ningún término!

Answer 1

Considere $$\tag{1}f(x):=\sum_{n=1}^\infty \arctan\left(\left(\frac 14-n\right)x\right)-\arctan\left(\left(-\frac 14-n\right)x\right)$$ y reescribamos la derivada de $f$ : \begin{align} \tag{2}f'(x)&=\frac 4{x^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1-4n}{(4n-1)^2+\bigl(\frac 4x\bigr)^2}-\frac{-1-4n}{(4n+1)^2+\bigl(\frac 4x\bigr)^2}\\ \tag{3}f'(x)&=\frac 4{x^2}\left(\frac {-1}{1^2+\left(\frac 4x\right)^2}+\sum_{k=1}^\infty\frac{k\sin\bigl(k\frac {\pi}2\bigr)}{k^2+\bigl(\frac 4x\bigr)^2}\right)\\ \end{align} (ya que el $k=1$ término no aparecía en $(2)$ )

Pero la serie en $(3)$ puede obtenerse en $\,\frac d{d\theta} C_a(\theta)\,$ con : $$\tag{4}C_a(\theta)=\frac {\pi}{2a}\frac{\cosh((\pi-|\theta|)a)}{\sinh(\pi a)}-\frac 1{2a^2}=\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(k\,\theta)}{k^2+a^2}$$ que puede obtenerse en el $\cos(zx)$ fórmula aquí (con sustituciones $\ x\to\pi-\theta,\ z\to ia$ ).

La sustitución de la serie en $(3)$ por $\,\frac d{d\theta} C_a(\theta)\,$ aplicado en $\,\theta=\frac {\pi}2$ nos da : \begin{align} f'(x)&=\left(-\arctan\left(\frac x4\right)\right)'-\frac 4{x^2}C_{\frac 4x}\left(\theta\right)'_{\theta=\frac {\pi}2}\\ &=\left(-\arctan\left(\frac x4\right)\right)'+\frac{4\pi}{2x^2}\frac{\sinh\left(\frac{\pi}2 \frac 4x\right)}{\sinh\left(\pi\frac 4x\right)}\\ &=\left(-\arctan\left(\frac x4\right)\right)'+\frac{\pi}{x^2}\frac 1{\cosh\left(\frac{2\pi}x\right)}\\ \end{align}

Integrando ambos términos vuelve (con constante de integración $\frac {\pi}2$ desde $f(0)=0$ ) : $$f(x)=\frac {\pi}2-\arctan\left(\frac x4\right)-\arctan\left(\tanh\left(\frac {\pi}x\right)\right)\quad\text{for}\ \ x>0$$ es decir, la pulcritud : $$\tag{5}\boxed{\displaystyle f(x)=\arctan\left(\frac 4x\right)-\arctan\left(\tanh\left(\frac {\pi}x\right)\right)}\quad\text{for}\ \ x>0$$

Para que su solución sea (para $x=1$ ) : $$\boxed{\displaystyle \arctan(4)-\arctan\left(\tanh(\pi)\right)}$$

Answer 2

Según Maple, el valor es aproximadamente $0.54228694083149264109$ . Maple no da una forma cerrada, y ni su función "identificar" ni la Calculadora Simbólica Inversa dan nada. ¿Tienes alguna razón para creer que existe una forma cerrada para este número?

Answer 3

Sólo para la convergencia: Por cada $n \ge 1$ tenemos \begin{eqnarray} a_n:&=&\arctan\left(\frac14-n\right)-\arctan\left(-\frac14-n\right)\\ &=&\arctan\left(n+\frac14\right)-\arctan\left(n-\frac14\right)\\ &=&\int_{n-\frac14}^{n+\frac14}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{1}{2(1+x_n^2)}, \end{eqnarray} con $$ x_n \in \left[n-\frac14,n+\frac14\right] \quad \quad \forall n \ge 1. $$ Por lo tanto, $$\tag{1} f(n)\le a_n \le f(-n) \quad \forall n \ge 1, $$ donde $$\tag{2} f(z)=\frac{1}{2\left[1+(z+1/4)^2\right]}. $$ De (1) se deduce que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge, y $$ S_1:=\sum_{n=1}^\infty f(n)\le \sum_{n=1}^\infty a_n \le S_2:=\sum_{n=1}^\infty f(-n). $$