Cada espacio de Tychonoff es una imagen de una de moscú el espacio bajo una continua abierto de asignación.
Un espacio de $X$ se llama a Moscú, si el cierre de cada conjunto abierto $U\subset X$ es la unión de una familia de $G_\delta$-subconjuntos de a $X$.
Referencia: A. Arhangel'skii y M. Tkachenko, Topológicos, Grupos y Estructuras Relacionadas, p358, Ex 6.3.b .
He tratado de responder a la pregunta, pero no lo he conseguido. Por ejemplo, Para el espacio de Tychonoff $X$, si podemos construir un espacio de $Y$ tal que $Y\times X$ es extremally desconectado (O Moscú), a continuación, $\pi:X\times Y\to X$ es continua abierto de asignación , pero es imposible .
Gracias por cualquier ayuda y consejo.
Respuesta
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Esta es una historia.
No he leído el libro por Arhangel'skii y Tkachenko, yo solo di un vistazo a algunas de las páginas de ti relacionados con mis investigaciones. Ya encontré que incluso algunos de los "problemas abiertos" relacionados con mis investigaciones son fácilmente solucionable, o ya está solucionado, he decidido que los ejercicios no deben ser muy duro. :-) Pero yo no soy un especialista en Moscú espacios. :-( Aún más, tal vez yo en primer lugar leer sobre ellos en el mismo libro. :-) Así que tal vez hay un truco en la solución de este ejercicio.
La búsqueda de la respuesta a la pregunta, busqué en la Biblia de general topologists – "topología General" [Eng] por Ryszard Engelking, y se encontró de forma inesperada algunos reclamos. De hecho, sólo había un comentario en el Ejercicio 4.2.D en mi (ruso) edición, alegando que Isbell en [Isb] demostró que cada espacio topológico es una imagen de un hereditariamente paracompact y fuertemente cero-dimensional espacio. Pero necesitamos algo más fuerte resultado, ya que, por el Teorema de 6.2.25 de [Eng], tenemos que cada vacía extremally desconectado espacio de Tychonoff fuertemente cero-dimensional, pero contrario a la inclusión no es cierto (el espacio de los números racionales está fuertemente cero-dimensional, pero no extremally desconectado).
Así que traté de mirar Isbell del papel [Isb]. Y me encontrado con éxito es aquí, en Springer. Pero este día no era el mío, :-) porque el artículo de la vista previa gratuita termina exactamente en el buscado teorema de, :-) y la idea de pagar por tales las cosas es completamente ajeno a mi mentalidad. :-)
Así que tuve que encontrar otras maneras. Inesperadamente, me encontré con unos resultados en la red de Internet.
De acuerdo a [Haz, p.524, Tychonoff espacios son perfectos imágenes de extremally desconectado espacios. Pero esto no debe trabajar, ya que, de acuerdo a [Eng], una imagen de una de extremally desconectado el espacio es extremally desconectado demasiado.
Desde el otro lado, parece que el problema original puede ser reducido a espacios compactos. De hecho, vamos a $X$ ser un espacio de Tychonoff. Existe un espacio compacto $bX$ tal que $X$ es un subconjunto denso de $bX$. Si $f:Y\to bX$ es un continuo abrir mapa de Moscú espacio de $Y$ a $bX$, $f^{-1}(X)$ es denso en $Y$. Desde una densa suspace de Moscú espacio de Moscú [A, Prop. 6.1.2], vemos que $f^{-1}(X)$ es una de Moscú espacio. Pero, por el anterior comentario, $f^{-1}(X)$ no puede ser extremally desconectado. En particular, Martin's de la construcción del mapa de$\beta X$, lo que muestra que Todo espacio compacto es una imagen continua de un compacto de Moscú espacio. falla por la presente prueba. Por otra parte, si $f$ es un abrir mapa continuo de Moscú espacio de $Y$ en un espacio de $X$ tal que $f^{-1}(x)$ es compacto para cada una de las $x\in X,$ $X$ es también una de Moscú espacio [A, Th. 6.3.1]. Así, tal vez para la construcción del espacio que desee $Y$ debemos "transmisión vertical" el espacio $X$ en el producto $X\times Z$ espacio $Z$.
Por fin lo he conseguido. He encontrado el teorema que debe implicar la respuesta positiva.
Un (Hausdorff) el espacio se llama estrictamente $\sigma$-discreto, si se trata de una unión de countably muchos de sus cerrado discretos subespacios. Es fácil mostrar que cada punto de una estrictamente $\sigma$-espacio discreto es un $G_\delta$-set. Por lo tanto, cada estrictamente $\sigma$-espacio discreto es Moscú. De acuerdo a [Atr], Junilla (que también fue mencionado en el Engelking la observación) que se muestra en [Jun] que cada espacio topológico es una imagen de una estrictamente $\sigma$discreto espacio de Tychonoff. $\square$
La actualización. Sólo he encontrado una referencia en [Atr']: "Cada espacio topológico $X$ puede ser representado como una imagen continua de un completamente regular submetrizable espacio de $Y$ (en otras palabras, $Y$ admite un continuo de uno-a-uno la asignación a un espacio metrizable) – la correspondiente construcción se da en la p. 331 de [Eng2]".
Referencias
[A] A.V. Arhangel'skii, M. Tkachenko, Topológicos, grupos y estructuras relacionadas, la Atlántida de Prensa, de París; el Mundo de la lesión. Publ., NJ, 2008.
[Esp] R. Engelking. Topología General. -- M.: Mir, 1986 (en ruso).
[Eng2] R. Engelking. Topología General. -- Heldermann Verlag, Berlín, 1989.
[Haz] M. Hazewinkel (ed.), Enciclopedia de las Matemáticas (9).
[Isb] J. R. Isbell. Una nota sobre el cierre completo álgebras. - Matemáticas. Sistemas. Teoría 3 (1969), 310-312.
[Jun] H. J. K. Junnila, Stratifiable preimages de espacios topológicos, Colloq. De matemáticas. Soc. J. Bolyai 23. Topología, Budapest, 1978, 689--703. MR **81m:*54019
[Atr'] M. G. Tkachenko. Topológicos, grupos de topologists: parte I, Bol. Soc. Mat. Mexicana (3), 5, 1999, 237-279.
[Atr] V. V. Tkachuk. ¿Cuándo espacios conectados han agradable conectado preimages? -- Proc. Amer. De matemáticas. Soc, 125:11 (Noviembre De 1998), 3437--3446.
