En la negación de la continuidad de la lipschiz

Question

Que $f: [a,b] \to R$ ser la función continua que es no Lipschitz continuo.

Podemos decir existen $x \in [a,b] $ y secuencias estrictamente monótonos, ${xn}{n=1}^{\infty} \subseteq [a,b] $y $\lambda_{n} \in \mathbb{R^+} $ tal que $xn \to x$ y $\lambda{n} \to + \infty $,

$$|f(xn) - f(x)| > \lambda{n} |x_n - x| $$

¿para todos los $n \in \mathbb{N}$?

P.S: Cleary no necesita preocuparse por la monotonía de las dos secuencias!

Answer 1

Tener en cuenta el $$ de la función f (x) =\begin{cases} x \sin (1/x), &\text{if}\ x\neq 0,\ 0, & \text{if}\ x = 0. \end{casos} $$ esta función es continua en $\mathbb{R}$, no es Lipschitz continuo y tiene derivada continua en $\mathbb{R}\setminus{0}$, por lo tanto, alrededor de cada punto de $x\neq 0$ es localmente Lipschitz continuo.

Por lo tanto, el único candidato para el % de punto $x$en su reclamo es $x=0$. En el otro |f(y) de $$ de mano - f(0) | \leq | y | y \qquad \forall. $$

Answer 2

No, esto es falso. Considere una función definida en $[0,1]$ que sigue principalmente la línea de $y = 0$ y $x \to 0$ tiene infinitamente muchos cada vez más escarpados picos hasta la línea de $y = x$.

(Formalmente, la función es cero, excepto en intervalos $[1/n - 1/3n^2, 1/n + 1/3n^2]$, donde es por trozos linear, que consiste en un triángulo con vértices en lo puntos $(1/n - 1/3n^2,0)$, $(1/n,1/n)$ y $(1/n + 1/3n^2,0)$.)

Answer 3

Esta es una versión simplificada de @user49640's ejemplo: Considere una función de $f : [0,1]\to\Bbb{R}$ definido por

$$ f(x) = \begin{cases} x \sin(1/x), & x > 0 \\ 0, & x = 0. \end{casos} $$

Esta función es pointwise Lipschiztz: Para cada una de las $a \in [0, 1]$ existe $\lambda_a \in [0,\infty)$ tal que

$$\forall x \in [0, 1] : \qquad |f(x) - f(a)| \leq \lambda_a|x - a|. $$

Por otro lado, $f$ no es Lipschitz: para$y_n = (2\pi n)^{-1}$$x_n = \left( 2\pi n + \frac{\pi}{2} \right)^{-1}$,

$$ \left| \frac{f(y_n) - f(x_n)}{y_n - x_n}\right| = \frac{x_n}{y_n - x_n} \to \infty \quad\text{as}\quad n\to\infty. $$

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p.s. Sin duda, esta respuesta es precedido por otro con exactamente el mismo ejemplo en un minuto. Si la comunidad piensa que esta es la respuesta es redundante o repetitiva con gusto me lo elimine.

Answer 4

Gracias por sus respuestas ! Tuve un tiempo difícil elegir la mejor respuesta!

Nunca he rebaño sobre Pointwise Lipschitzian! (Ver @Sangchul Lee 's respuesta)

Resulta que cualquier función derivable $f:[a,b] \to \mathbb{R} $ es Pointwise de Lipschitz! (super fácil de probar ) Así, en orden a rechazar mi reclamación, sólo necesitamos pensar acerca de un (diferenciable) de la función cuya derivada es ilimitado ! Ahora hay un montón de ejemplos de dicha función, algunos típicos son $x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}$ donde $ 1 < \alpha <2 $ ! Esto muestra que incluso puedo añadir la asunción de la diferenciabilidad todavía mi afirmación no es correcta !

Estoy avergonzado de pedir tal una pregunta tonta :)