Razón matemática para la validez de la ecuación: $S = 1 + x^2 \, S$

Question

Dada la serie geométrica:

$1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + \cdots$

Podemos refundición como:

$S = 1 + x^2 \, (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + \cdots)$ donde $S = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + \cdots$.

Esta refundición es posible sólo porque hay un infinito número de términos en $S$.

Exactamente ¿cómo es matemáticamente posible?

(Relacionados, pero no idénticos, pregunta: pregunta General sobre la relación entre la infinita serie y números complejos).

Answer 1

Hay una versión limitada de que la expresión que tienes es el límite.

Supongamos que $S=1+x^2+x^4+x^6+x^8$, entonces podemos poner

$S+x^{10}=1+x^2(1+x^2+x^4+x^6+x^8)=1+x^2S$

Y obviamente esto puede tomarse como lo que te gusta, así que puede reemplazar 10 por 10.000 si usted elige. Si el valor absoluto de $x$ es menor que 1, este término adicional acercamientos cero como el exponente aumenta.

También existe la teoría de serie de energía formal, que no depende de nociones de la convergencia.

Answer 2

Es la suma parcial del th del #% de la %#% de su serie

$$ \begin{align} Sn &= 1+x^2+x^4+\cdots +x^{2n}= 1+x^2(1+x^2+x^4+\cdots +x^{2n-2})\ &= 1+x^2S{n-1} \end{align} $$

Suponiendo que la serie converge te haz eso $$ \lim_{n\to\infty}Sn=\lim{n\to\infty}s_{n-1}=S. $$

Así $n$.

Answer 3

$S = 1 + x^2 \, S$ es cierto incluso en el anillo de la serie de energía formal. No convergencia se necesita aquí.