¿Cuáles son los requisitos de una matriz de rotación?

Question

En general, ¿cuáles son las propiedades necesarias y suficientes de una matriz para que sea matriz de rotación ?

¿Es suficiente con det(A) = 1?

Answer 1

No, ni de lejos. La matriz necesita ser ortogonal lo que significa que $A^tA=I$ donde $A^t$ es la matriz transpuesta -- y entonces también tiene que tener el determinante 1.

(Se puede pensar en la ortogonalidad considerando cómo la matriz actúa sobre los vectores de la base estándar -- ya que eran ortogonales entre sí y tenían longitud 1 antes de la rotación, esto también debe ser cierto después de la rotación. Pero los vectores después de la rotación son sólo las columnas de $A$ et $A^tA=I$ es entonces una forma compacta de tomar el producto punto de cada par de vectores nuevos y ver si salen bien, todo en una sola operación).

Answer 2

No lo es. Una matriz de rotación es una matriz cuadrada con columnas ortonormales y determinante 1. El conjunto de todas las $n\times$ n tales matrices se denomina comúnmente grupo ortogonal especial, y se denota $SO(n)$ .

Answer 3

En $\mathbb{R}^3$ se puede demostrar que el conjunto de todas las matrices de rotación es precisamente $SO_3(\mathbb{R})$ .

Asumiendo este hecho, una matriz de rotación $A$ con respecto a la base estándar tendría entonces las propiedades

1. $AA^{T} = I$
2. $\langle Ax, Ay \rangle = \langle x,y \rangle$ , donde $\langle,\rangle$ es simplemente el producto interno estándar en $\mathbb{R}^3$ y $x,y$ cualquier vector en $\mathbb{R}^3$ .
3. $||Ax|| = ||x||$ para cualquier vector $||x||$ .

De hecho, las propiedades anteriores no sólo son válidas para las matrices de rotación, sino también para las matrices en $O_3$ (y en general $O_n$ ) también.

Ahora queda por demostrar por qué las matrices de rotación son exactamente las matrices de $SO_3$ . Para demostrarlo se necesitan al menos dos hechos:

1. Todo operador lineal sobre un espacio vectorial real $V$ de dimensión impar tiene un valor propio (real).

2. Si $W$ es un subespacio de $V$ estable la restricción de un operador lineal $T$ a $W$ entonces $W^{\perp}$ también es estable.