Construir una función que es continua y tiene un máximo en un intervalo abierto, pero no necesariamente aumenta inmediatamente a la izquierda del máximo.

Question

Esta es una tarea problema para mi clase de análisis. Es problema 13.1 de Mattuck la Introducción a su Análisis. Lee la pregunta:

Supongamos que F(x) es continua en algún intervalo abierto I y c es un punto máximo dentro de este intervalo. Es cierto que f(x) debe ser aumentar inmediatamente a la izquierda de c y la disminución inmediatamente a la derecha de c? Prueba o contraejemplo. (Nota: Una función constante es considerado tanto el aumento y la disminución.)

Mi amigo y yo hemos estado tratando de encontrar un contraejemplo. Nos dimos una función que comienza oscilante infinitamente muchas veces cerca de c , pero converge a c iba a funcionar. Estamos teniendo dificultad para construir una función de este tipo de funciones elementales así que creo que vamos a tener que definir de otra manera, la pieza sabio uso de la retracción de los intervalos. No tengo ni idea de cómo sería. Cualquier consejo sería muy apreciada.

Answer 1

Su idea original me parece bien. Por ejemplo, usted podría comenzar con la función de $$f(x) = \begin{cases}x \sin(1/x) & \text{if } x \ne 0 \\ 0 & \text{if } x = 0, \end{cases}$$

que es continua en toda la recta real y diferenciable en todas partes, excepto en cero, y se ve como esta en la vecindad de cero:

A continuación, sólo tiene que ajustar a $f$ a tiene un máximo global en $x = 0$, por ejemplo restando $2|x|$ a partir de ella. El resultado de la función $g(x) = f(x)-2|x|$ tiene este aspecto en la vecindad de cero:

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Ps. Si quieres un contraejemplo que incluso es diferenciable en todas partes, intente $$h(x) = x f(x) - 2x^2 = \begin{cases}x^2 \sin(1/x) - 2x^2 & \text{if } x \ne 0 \\ 0 & \text{if } x = 0, \end{cases}$$, que se parece a esto:

Demostrando que $h$ es derivable en cero es bastante fácil a partir de primeros principios, con sólo mostrar que la diferencia cociente $$ \frac{h(x)-h(0)}{x} = x \sin(1/x) - 2x $$ converges to $0$ in the limit as $x \to 0$, which in turn can be done using the squeeze theorem in exactly the same way as for showing the continuity of $f$ and $g$ at zero. Then you just need to show that the derivative of $h$ toma valores positivos y negativos en cada intervalo con un extremo en cero.

Answer 2

$$ f (x) = x^2\left(-2+\sin\frac1x\right) $$ cuando $x\ne0$ y $f(0)=0$.

Apretando, ves que esto continuo en $0$

Desde $\sin(\text{anything})\le 1$, tenemos $-2+\sin\dfrac1x\le-1$, que $f(x)\le -x^2$, % y $f(x) = 0$. Así tiene un máximo global en $0$.

Ahora trabajo en demostrar no importa cómo cerrar $0$ llegar, hay lugares donde el derivado tiene el signo incorrecto $f$ para satisfacer la conjetura falsa.

Answer 3

Hay un par de métodos para esto. Ambos de sus ideas en el trabajo para una función que oscila infinitamente muchas veces, $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ tiende a venir muy bien. No hacer lo que quieres (no es continua en cero), pero con un poco de persuasión que va a encajar.

Pero las otras respuestas ya han cubierto este, así que aquí está una trozos de construcción: quieres un máximo global, vamos a decir $(0,0)$. Ahora, básicamente, lo que quiero es que, en cada intervalo a la izquierda o a la derecha del máximo global, pasar algún tiempo subiendo y bajando. Así que, ir de$(-1,-1)$$x = -1/2$, luego baja hasta $x = -1/4$, a continuación, vaya hasta la $x = -1/8$... esto es claramente va a trabajar como siempre y como usted puede hacer que sea continua. Pero eso no es difícil: hacer un modelo lineal por tramos y hacer que la distancia recorrida en cada rasgueo tienden a $0$ a medida que se acerca a $x=0$. A continuación, la flip en el $y$-eje para llegar al otro lado.

Si lo piensas, es bastante fácil de llegar con funciones continuas con la única máximos globales. Considerar este bigote región en forma de:

cortesía de Wolfram|Alpha. Cualquier función que permanece dentro de él será forzado a tener un máximo en 0 y continua en 0. En la zona azul, se puede mover arriba y abajo todo lo que quieras, de la manera que desee, siempre y cuando usted sigue siendo continua, que no es demasiado duro. Meneo bien hasta cerca de la zona centro, luego de "zoom in", y de cerca, la región se ve exactamente como lo hacía antes, así que usted puede moverse exactamente como lo hacía antes de hacer zoom.

Answer 4

Definir $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ por

\left\$ {\begin{array}{rcl} f(x)&:=-|x\sin\frac{1}{x}|,&\text{if }x\neq 0,\ &=0,&\text{otherwise}. \end{matriz} \right. $$