Buscar $a$ tal que $2^{1990} \equiv a\pmod {1990}$.

Question

Buscar $a$ tal que $2^{1990} \equiv a\pmod {1990}$.

$1990 = 2 \times 5 \times 199$. Actualmente el $a \equiv 0 \pmod {2}$, $a \equiv 4 \pmod{5}$% y $a \equiv 29 \pmod{199}$. Tomando los dos primeros juntos conseguimos $a \equiv 4 \pmod {10}$.

$199x \equiv 1\pmod {10}$ tiene una solución $x =-1$ y $10x \equiv 1\pmod{199}$ tiene una solución $x = 20$.

Por lo tanto aplicando el Teorema chino del resto tenemos,

$a \equiv 4(-1)199 + 29(20)10 \equiv 5004 \equiv 1024\pmod {1990}$.

Así nuestra $a = 1024$.

¿Es correcta la solución? ¿Hay alguna prueba más?

Answer 1

Comprobar la respuesta de $a=1024=2^{10}$: $$\begin{align}2^{1990}&\equiv 0\equiv 2^{10}&\pmod 2\ 2^{1990}&\equiv \left(2^{4}\right)^{495}2^{10}\equiv 2^{10}&\pmod{5}\ 2^{1990}&\equiv \left(2^{198}\right)^{10}2^{10}\equiv 2^{10}&\pmod{199} \end {Alinee el} $$

Después de su edición, su respuesta es correcta.

Answer 2

Sí, es correcto. Más simplemente, en un pequeño % de Fermat $\,2^4\equiv 1\pmod 5\,$y $\,2^{198}\equiv 1\pmod{199}\,$ tan $\,4,198\mid 1980\,\Rightarrow\,2^{1980}\equiv 1\,\Rightarrow\,2^{1990}\equiv 2^{10}\,$mod $5$ y mod $199$. Finalmente, combinando estos concluimos que $\,2^{1990}-2^{10}\,$ es divisible por $\,2,5,199,\,$ así también por su lcm = producto $=1990$.