Tuve un examen hoy en la escuela y una pregunta me pidió que probara que los cuatro puntos A, B, C y D eran coplanares. Hice ecuaciones vectoriales para las líneas AB y CD respectivamente y mostré, por el método de ecuación simulante, que estas dos líneas se cruzan. Luego pasé a explicar que esto significa que las líneas son coplanares y, por lo tanto, los puntos A, B, C y D son coplanares. No he visto que se use este método, pero se me ocurrió durante el examen. ¿Es este método válido?
Respuestas
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thefreshteapot
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Sí lo es. Bien hecho saliendo con eso tu mismo.
Si tienes dos líneas que se intersectan, siempre tienes un plano donde se encuentran ambas. Entonces, tus cuatro puntos también estarán en ese plano.
Pero ten cuidado: si encuentras que las líneas$AB$ y$CD$ no se cruzan, esto no significa automáticamente que los puntos no son coplanares.
Chappers
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Sí, esto va a funcionar proporcionar las líneas no son paralelas (en cuyo caso sólo tienes que elegir diferentes pares: si todas las líneas son paralelas, los puntos son todos colineales). Resulta que es equivalente a mostrar que la distancia mínima entre un plano y un punto es cero.
Empezar con $A,B,C$. Ninguno de los tres no-puntos colineales determinan un plano. Si $A,B,C$ son colineales, entonces $A,B,D$ determinar un plano (o una línea si todos ellos son colineales) y $C$ se encuentra en forma automática.
Así que supongo que $A,B,C$ determinan un plano. Queremos mostrar que $D$ se encuentra en este plano. Un avión a través de tres puntos está dada por los puntos $$ sA + (1-s-t)B +tC $$ para todos los verdaderos $s,t$ (esta es una de dos dimensiones del espacio lineal que contiene $A,B,C$, por lo que debe ser el avión). Para comprobar que el $D$ es en el plano es encontrar a $s,t$, de modo que $$ D = sA+(1-s-t)B+tC. $$
Por otro lado, las líneas de $AB$ $CD$ están dadas por $$ \lambda + (1-\lambda)B, \\ \mu C + (1-\mu) D $$ real $\lambda $ $\mu$ (por las mismas razones: estos son de una dimensión lineal de los espacios que contengan $A,B$$C,D$). Para decir estas se cruzan significa que no se $\lambda,\mu$, de modo que $$ \lambda A + (1-\lambda)B = \mu C + (1-\mu) D. $$ Si $\mu=1$, $C$ se encuentra en $AB$, de todos modos, y estamos de vuelta en el colineales caso, así que supongo que $\mu \neq 1$. Entonces $$ D = \frac{\lambda}{1-\mu} A + \frac{1-\lambda}{1-\mu} B + \frac{-\mu}{1-\mu} C = \frac{\lambda}{1-\mu} A + \left( 1 - \frac{-\mu}{1-\mu} -\frac{\lambda}{1-\mu} \right) B + \frac{-\mu}{1-\mu} C, $$ que está en el formulario que se encuentra por encima de. Por lo tanto, si hay una solución a estas ecuaciones, es muestra de que $D$ se encuentra en el plano de la $ABC$.
Lo que si no hay solución? Hay dos posibilidades: o las líneas son paralelas (en cuyo caso $D$ aún se encuentra en el plano de la $ABC$) o las líneas son skew (por lo $D$ no se encuentran en el plano de la $ABC$). Uno comprueba el paralelismo de uso del producto: $(A-B) \times (C-D)=0$ si y sólo si $A=B$ o $C=D$ o $A-B \parallel C-D$.
Benjamin
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Calculo las distancias entre los seis pares de puntos y, tratándolos como los bordes de un treraedro, uso el determinante de Cayley-Menger ( http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html ) para obtener el volumen. Volumen cero = coplanar.
