Se debe encontrar una función $f$ tal que su derivada $f'(x)$ esté dada por $$f'(x)= \frac{192 x^3}{2+ \sin^4\pi x} \forall x \in \mathbb R$$
El valor de la función en $x=0$ es $\frac{1}{2}$.
No tengo ni idea de cómo integrar $f'(x)$. ¿Es posible encontrar $f(x)$ de todos modos? ¿Cómo se puede evaluar esta integral?
Si estás buscando una expresión en forma cerrada para la integral, entonces supondría que no hay tal forma cerrada en funciones elementales.
Pero si simplemente estás buscando una antiderivada $f$ de $f'$ tal que $f(0) = 1/2$, entonces la única función tal es $$ f(x) = \frac{1}{2} + \int_0^x \frac{192 t^3}{2 + \sin^4 \pi t} dt.$$ Para cualquier valor de $x$, es posible estimar numéricamente $f(x)$ con la precisión deseada.
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Creo que solo necesitamos obtener una aproximación para sin como cerca de 0 $sin (x)\approx x $ o obtener un límite superior o inferior para la función usando $0\leq sin^4 (x)\leq 1 $ ya que es altamente improbable que la función sea integrable.