Ejemplos que $f(\overline{E})\subsetneq\overline{f(E)}$ para la continuidad $f: X \to Y$ y el subconjunto $E\subset X$ (Problema 4.2 de Baby Rudin)

Question

Estoy trabajando en la segunda parte del problema 2 del capítulo 4 de Rudin, y me preguntaba si alguien podría revisar mi ejemplo o, incluso si es correcto, tal vez ayudarme a encontrar uno menos trivial.

El problema, como dice el título, es encontrar una función continua $f: X \to Y$ (donde $X$ , $Y$ son espacios métricos) y el subconjunto $E\subset X$ tal que $f(\overline{E})\subsetneq\overline{f(E)}$

El ejemplo que se me ocurrió es $f: \mathbb{R}\setminus\{0\} \to \mathbb{R} $ , $f(x)= \frac{1}{x}$ y $E=\mathbb{N}$ . Así que $E=\overline{E}$ y $f(E)=\{ {1\over n}:n\in \mathbb{N}\}$ y así $\overline{f(E)}=f(E)\cup\{0\}$

Me preguntaba si esto es correcto y si hay un ejemplo más perspicaz en el que $E$ es más interesante que un conjunto de puntos aislados.

Answer 1

Tomemos la función de inclusión $f:\mathbb Q \to \mathbb R$ con $E=\mathbb Q$ . Entonces, claramente $\overline E=E$ así que $f(\overline E)=E$ pero $\overline {f(E)}=\mathbb R$ .

Answer 2

Hay algunos ejemplos muy naturales. Por ejemplo $$\exp(\overline{\mathbb{R}}) = (0,\infty) \quad \text{but} \quad \overline{\exp(\mathbb{R})} = [0,\infty)$$ desde $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}$ .

De hecho, cualquier mapa continuo $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ cuyo dominio no es un conjunto cerrado.