Representación unitaria de $SO(3)$

Question

Definición: $\mathcal{H}$ ser un espacio de Hilbert y $U(\mathcal{H})$ el valor unitario de los operadores, Si Unitaria representación de una matriz de lie del grupo de $G$ es sólo un homomorphism $\Pi:G\rightarrow U(\mathcal{H})$ con los siguientes continuidad condición: $A_n\rightarrow A\Rightarrow \Pi(A_n)v\rightarrow\Pi(A)v$

Ahora podría alguien ayudarme lo que está pasando aquí en detalle por lo que puedo entender,

"vamos a $\mathcal{H}=L^2(\mathbb{R}^3,dx)$ el espacio de todos cuadrado integrable funciones en $\mathbb{R}^3$, para cada una de las $R\in SO(3)$ definimos un operador $[\Pi_1(R)f](x)=f(R^{-1}x)$, ya que la medida de Lebesgue es la rotación invariable, $\Pi_1(R)$ es un operador unitario para cada una de las $R\in SO(3)(why?)$ , y es fácil demostrar a $R\rightarrow \Pi_1(R)$ es unitaria de representación." Gracias

Answer 1

Tenemos $$ \int_{\mathbb R ^ 3} \Pi_1(R) f\overline{[\Pi1(R) g]}(x) dx = \int{\mathbb R ^ 3} f (R ^ {-1} x) \bar g(R^{-1}x) dx. $$ Ahora hacer la sustitución $u = R^{-1} x$. Desde $R \in SO(3)$ el Jacobian de esta transformación es de 1. Por lo anterior es $\int_{\mathbb R^3} f(u) \bar g(u) du$. Esto demuestra que cada $\Pi_1(R)$ es un operador unitario, ya que conserva el producto $L^2$ interno.

Answer 2

Considerar generadores SO(3): $$ [X_i, X_j] i = \epsilon^{ijk} X_k\ X_1 = i {\begin{pmatrix} 0& 0&0\ 0& 0&-1\0&1&0 \end{pmatrix}} \ X_2 = i {\begin{pmatrix} 0& 0&1\ 0& 0&0\-1&0&0 \end{pmatrix}} \ X_3 = i {\begin{pmatrix} 0& -1&0\ 1& 0&0\0&0&0 \end{pmatrix}} $$

Nota $X_j^\dagger=X_j$.

Escribir los elementos del grupo de mentira SO(3) como $$ g = e ^ {i \alpha_j X_j} $$ donde $g^{-1}=g^\dagger$. Y $g^{-1}g=g^\dagger g=1$.

Así $g=e^{i \alpha_j X_j}$ es la única representante de SO(3). (Sólo asegúrese de que mi intervención aquí es correcto?)

Answer 3

Para mostrar que $\Pi_1(R)$ es unitaria tienes que probar:

1. $\langle \Pi_1(R) f, \Pi_1(R) g \rangle = \langle f, g \rangle$ por cada $f, g\in L^2(\mathbb R^3)$
2. $\Pi_1(R)$ es surjective.

Para cada una de las $f, g\in L^2(R^3)$ hemos $$ \langle \Pi_1(R)f, \Pi_1(R)g \rangle := \int_{R^3} f(R^{-1}x)\overline{g(R^{-1}x)} dx = \int_{R^3} f(x)\overline{g(x)} dx =: \langle f, g \rangle $$ La escritura de la igualdad anterior se utilizó la rotación invariancia de medida de Lebesgue.

Para cada una de las $f\in L^2(R^3)$, vamos a $\tilde f$ ser la función de $x \to f(R x)$, tenemos $$ (\Pi_1(R) \tilde f)(x) = \tilde f(R^{-1}x)= f(R R^{-1}x) = f(x) $$ Así que ambos requisitos se cumplen.