Tratando de demostrar una desigualdad simple (?)

Question

[Lo siento, pero no pude inventar un mejor título ...]

Estoy intentando demostrar que$$\prod_{i=1}^n (1+a_i) \leq 1 + 2\sum_{i=1}^n a_i$$ if all $ a_i$ are non-negative reals with $ \ sum_ {i = 1} ^ n a_i \ leq 1 $ y parece que estoy atascado. (Y, no, ¡esto no es tarea!)

Answer 1

Probablemente es más fácil:

$$0 \leqslant x \Rightarrow \log (1+x) \leqslant x,$$

así que tenemos (set$x = a_i$$1 \leqslant i \leqslant n$)

$$\log \prod_{i=1}^n (1+a_i) = \sum_{i=1}^n \log (1+a_i) \leqslant \sum_{i=1}^n a_i.$$

Además, hemos

$$0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow e^x \leqslant 1 + 2x,$$

que (set $x = \sum a_i$) junto con lo anterior se obtiene el resultado.

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Supongo que había una más elementales de la prueba en la mente.

No estoy seguro de si se considera como más elemental, pero podemos probar por inducción si se demuestra que el más fuerte de la desigualdad

$$\prod_{i=1}^n(1 + a_i) \leqslant 1 + \sum_{i=1}^n a_i + \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2.$$

El caso base $n = 1$ es inmediata. Para mayor brevedad, escribir $s_n = \sum\limits_{i=1}^n a_i$, luego tenemos

$$\begin{align} \prod_{i=1}^{n+1}(1 + a_i) &= (1 + a_{n+1})\prod_{i=1}^n (1+a_i)\\ &\leqslant (1 + a_{n+1})(1 + s_n + s_n^2)\\ &= 1 + s_n + a_{n+1} + s_na_{n+1} + s_n^2 + s_n^2a_{n+1}\\ &= 1 + s_{n+1} + s_ns_{n+1} + s_n^2a_{n+1}\\ &\leqslant 1 + s_{n+1} + s_{n+1}(s_n + a_{n+1}s_n)\\ &\leqslant 1 + s_{n+1} + s_{n+1}^2, \end{align}$$

puesto que, por hipótesis de $s_n \leqslant 1$.

Answer 2

He aquí otra prueba de que no es inductivo, y podría decirse que "primaria". El producto expandida $\prod_{i=1}^n (1+a_i)$ se compone de las iniciales de $1$, más la suma de la de un pliegue de productos, además de la suma de las dos veces productos, etc., hasta la (única) $n$veces producto. Poner $s=\sum_{i=1}^n a_i$ y considerar el resultado de la expansión de $s^k$, pero manteniendo sólo aquellos productos para los cuales el $a_i$ son claramente subíndice. A continuación, cada producto aparece $k!$ los tiempos, para que podamos vinculado a la suma de los $k$ veces los productos de la $a_i$$s^k/k!.$, con Lo que tenemos $$\prod_{i=1}^n (1+a_i) \le 1 + \frac{s}{1!} + \frac{s^2}{2!}+ \cdots \frac{s^n}{n!}. \tag{1}$$ [Esta desigualdad apareció en Hardy "Curso de Matemáticas Puras" como un ejercicio, pero parece haber una primaria prueba suficiente.]

Hasta ahora no hemos utilizado $s \le 1$. Si imponemos ahora, podemos obtener una cota superior para la suma en el lado derecho de la $(1)$ [con la inicial $1$ omitidas] reemplazando cada factorial del denominador $t!$$2^{t-1}$, y la ampliación de la (ahora geométrica) suma de los infinitos términos, dando la suma de $s/(1-s/2)$, que es en la mayoría de las $2s$ desde $s \le 1.$, con Lo que el lado derecho de la $(1)$ está acotada arriba por $1+2s,$, lo que muestra deseada de la desigualdad.