O ' Neil ' problema s 2.10 en derivaciones de Tensor. Literatura sobre el tema.

Question

Tengo un verdadero problema tratando de entender un problema en O'Neil "Semi-Geometría de Riemann" y no he encontrado mucha literatura sobre el tema. Voy a exponer el problema y voy a estar agradecido a aceptar sugerencias, soluciones y fuentes bibliográficas sobre el tensor de derivaciones.

Problema 2.10 (p.53) Probar que un tensor de derivación $\mathfrak{D}$ $\mathfrak{D}_0 ^0 = 0$ si y sólo si $\mathfrak{D}_0^1$$\mathfrak{F}(M)$ - lineal (aquí, $\mathfrak{F}(M)$ es sinónimo de suavidad real de las funciones con valores en $M$). Luego de la interpretación, $\mathfrak{D}_0 ^1 = B \in \mathfrak{T}_1^1(M)$ (donde $\mathfrak{T}_s^r(M)$ representa para todos (r,s)-tensores en $M$), y escribimos $\mathfrak{D} = \mathfrak{D}_B$.

Aquí está la definición de un tensor de derivación de acuerdo con el libro:

Definición (Tensor de derivación). Un tensor de derivación $\mathfrak{D}$ es un conjunto de $\mathbb{R}$-funciones lineales en una suave colector $M$ $$ \mathfrak{D} = \mathfrak{D}^r_s:\mathfrak{T}_s^r \to \mathfrak{T}_s^r \quad\quad (r\geq 0, s\geq 0) $$ tal que para cualquier tensores $A$$B$:

(1) $\quad \mathfrak{D}(A \otimes B)= \mathfrak{D}A \otimes B+ A \otimes \mathfrak{D}B $

(2) $\quad \mathfrak{D}(\mathbf{C} A) = \mathbf{C}(\mathfrak{D} A )$ para cualquier contracción $\mathbf{C}$.

Mi primer problema es que no puedo ver la intuición detrás de la definición cuya notación es ya engorroso y no puedo encontrar más bibliografía sobre el tema. De todos modos, creo que una solución para el problema está dada por la identidad (1), por si $\theta$ $(1,0)$- tensor y $f$ un suave con un valor real de la función, a continuación, $\mathfrak{D}(f)=\mathfrak{D}_0^0(f)=0$ por hipótesis y (1) se convierte en (espero que esto tiene algún sentido): $$ \mathfrak{D}(f \theta) = \mathfrak{D}(f) \otimes \theta + f \mathfrak{D}(\theta) = f \mathfrak{D}(\theta)$$ lo que espero es suficiente para demostrar la necesidad y suficiencia de la $\mathfrak{F}(M)$-linealidad.

Sin embargo, yo no puede derivar cómo puede interpretarse como que el $\mathfrak{D}_0^1$ es un (1,1)-tensor! ¿Alguien puede explicarlo? ¿Alguien sabe de una forma más completa y introductorio de referencia?.

Answer 1

Su argumento para mostrar que $D^1_0$ $\mathcal F(M)$ de es-lineal si y sólo si $D_0^0=0$ usando la regla del producto es totalmente correcto. Consideremos ahora las propiedades de $D^1_0$ en este caso: es un $\mathcal F(M)$-paquete linear mapa $TM \to TM$ y $$B : (X,\omega) \mapsto \omega(D^1_0 X)$$ is an $\mathcal F (M) $-linear map $ TM \otimes TM ^ * \to \mathcal F (M) $; i.e. a $ (1,1) $-tensor. (Depending on your definition of $ (1,1) $ tensor this may require the additional step of showing that $\mathcal F (M) $linear mapas sobre los productos del tensor del haz tangente corresponden a campos del tensor liso; pero supongo que eres consciente de esta correspondencia.)