Residuo de $e^{1/z(z-1)}$ $z=0$

Question

¿Cómo puedo calcular el residuo de $f(z) = e^{\frac{1}{z(z-1)}}$$z=0$?

Yo no sólo puede ampliar formalmente en potencias de $z$ como esta $$ e^{1/z(z-1)} = e^{1/z + 1 z + \ldots} = 1 + \left(\frac1z + 1 + z + \ldots\right) + \frac12 \left( \frac1z + 1 + z + \ldots \right)^2 + \ldots $$ y calcular la suma de la serie de coeficientes antes de $z^{-1}$ (puedo?). Incluso si es válido, no es tan fácil.

También pensé en que el hallazgo de que el residuo se trata de encontrar la integral de $f$ más el círculo en torno a $0$ con radio de menos de $1$: $\int_{R=\frac12} f(z) dz$. Si me gustaría hacer un cambio de una variable $z = \frac1w$ a que se convertiría en $\int_{R=2} \frac{1}{w^2} e^{\frac{w^2}{1-w^2}} dw$. El integrando es holomorphic en $\{z \in \mathbb C : |z| > 1\}$, por lo que sólo tenemos que calcular el residuo de a $\infty$. Pero eso parece demasiado complejo, demasiado.

Answer 1

Nosotros podemos escribir $$\frac{1}{z(z-1)} = \frac{z-1}{z} + \frac{z}{z-1} - 2.$$ The modified Bessel functions of the first kind are defined by $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} In(z) w^n = e^{(zw + zw^{-1})/2}.$$ In particular, $$\sum{n=-\infty}^{\infty} In(2) w^n = e^{ w + w^{-1}}.$$ Setting $w = \frac{z-1}{z}$, we get $$\sum{n=-\infty}^{\infty} In(2) \frac{(z-1)^n}{z^n} = e^{\frac{1}{z(z-1)} + 2}.$$ In particular, since the residue of $ (1 - 1/z)^n$ at $z=0$ is $-n$ for $n \ge 0$ (and $0$ otherwise), the residue of $e^{\frac{1}{z(z-1)}}$ is $$e^{-2} \sum{n=0}^{\infty} In(2) \cdot (-n) = e^{-2} \sum{n=0}^{\infty} \Big( I{n+1}(2) - I{n-1}(2) \Big),$$ which telescopes to $-e^{-2}(I_{-1}(2) + I_0(2)) \approx-0.528. $ esto es numéricamente correcto como WolframAlpha integra

e ^ (1 / (e ^ (2iz) / 4 - e^(iz)/2)) e ^ (iz) / 2 dz z = 0 a 2 pi

algo muy cerca de $2\pi$veces $-0.528$.