Centrémonos en la supersimetría global; los términos de Fayet-Iliopoulos en supergravedad son mucho más sutiles.
Tiene razón en que "la $D$ -término' es sólo una pieza particular en la expansión de un supercampo. Cuando se habla de un "Fayet-Iliopoulos $D$ -término", se refiere a añadir algún múltiplo del $D$ -término de a $U(1)$ al Lagrangiano: $$ \mathcal{L}_{\mathrm{FI}} = \xi\, D ~, $$ donde $\xi$ es una constante con dimensiones de masa al cuadrado. Esto es invariante gauge para a $U(1)$ y bajo supersimetría, se transforma por una derivada total, por lo que la acción es invariante.
Un término así puede parecer extraño, pero recuerde que $D$ es un campo auxiliar, lo que significa que no tiene término cinético. Esto significa que su ecuación de movimiento es simplemente algebraica, y podemos resolverla y sustituir la solución de nuevo en el Lagrangiano. Los campos escalares de la teoría se denominan $\{\phi_i\}_{i=1,\ldots,N}$ donde $\phi_i$ tiene cargo $q_i$ bajo el $U(1)$ . Con el término FI incluido, la solución para $D$ es $$ D = -\left( \sum_i q_i |\phi_i|^2 +\xi \right) ~. $$ El potencial escalar incluye un término $\frac{1}{2}D^2$ y cuando expandes esto, obtienes un montón de interacciones cuárticas que son independientes de $\xi$ un montón de términos de masa proporcionales a $\xi$ y una constante $\xi^2$ plazo.
Para ver por qué esto es algo interesante, recuerde que la supersimetría no se rompe si y sólo si $D = 0$ y también $F_i = 0$ para cada $i$ donde $F_i$ es la componente auxiliar del supercampo quiral $\Phi_i$ . Puede ver que cuando $\xi \neq 0$ , $D=0$ es imposible a menos que $\phi_i \neq 0$ para al menos un valor de $i$ (con $q_i \neq 0$ ). Pero $\phi_i \neq 0$ significa que se rompe la simetría gauge. Por tanto, ¡o la simetría gauge o la supersimetría deben estar rotas!
En realidad, la simetría gauge o la supersimetría, o ambas, pueden romperse en un modelo como este; recomiendo jugar con un ejemplo sencillo: dos campos quirales, $q_1 = e, q_2 = -e$ con término de masa $\int d^2\theta\, m \Phi_1 \Phi_2$ -- y averiguar para qué valores de $m, \xi$ se rompe la supersimetría y/o la simetría gauge.
