Transposición de una cartografía lineal

Question

Parece que hay dos tipos de transposiciones de una cartografía lineal:

1. Si $f: VW$ es un mapa lineal entre espacios vectoriales $V$ y $W$ con formas bilineales no degeneradas, definimos la transposición de $f$ para ser el mapa lineal $^tf : WV$ determinado por $$B_V(v,{}^tf(w))=B_W(f(v),w) \quad \forall\ v \in V, w \in W.$$ Aquí, $B_V$ y $B_W$ son las formas bilineales en $V$ y $W$ respectivamente. La matriz de la transposición de un mapa es la matriz transpuesta sólo si las bases son ortonormales con respecto a sus formas bilineales.

   Me preguntaba qué significa específicamente "las bases son ortonormales con respecto a sus formas bilineales" significa específicamente?

   La transposición depende de la elección de las formas bilineales no degeneradas formas bilineales $B_W$ y $B_V$ dado que puede haber muchos opciones?

2. Si $f : V W$ es un mapa lineal, entonces la transposición (o doble) $f^* : W^* V^*$ se define por $$f^*(\varphi) = \varphi \circ f \, $$ para cada $ W^*$ . Si el mapa lineal $f$ está representado por el matriz $A$ con respecto a dos bases de $V$ y $W$ entonces $f^*$ es representada por la matriz de transposición $A^T$ con respecto al dual bases de $W^*$ y $V^*$ .

   ¿Es ésta una definición diferente de la anterior, o son esencialmente la misma? ¿Pueden estar directamente relacionadas de alguna manera?

3. En Teorema fundamental del álgebra lineal para cada matriz $A \in \mathbf{R}^{m \times n}$ ,

   $\mathrm{ker}(A) = (\mathrm{im}(A^T))^\perp$ es decir, el espacio nulo es el complemento ortogonal del espacio de filas

   $\mathrm{ker}(A^T) = (\mathrm{im}(A))^\perp$ , es decir, la izquierda es el complemento ortogonal del espacio de columnas.

   ¿Puede reformularse el teorema en términos de un mapeo lineal en lugar de una matriz? ¿Cuál de las dos definiciones anteriores de transposición de un lineal se utiliza en la reformulación para sustituir $A^T$ ?

Gracias y saludos.

Answer 1

1. Dado un mapa bilineal $H\colon V\times V\to F$ , una base $[v_1,\ldots,v_n]$ de $V$ sería ortonormal respecto a $H$ si $H(v_i,v_j) = 0$ si $i\neq j$ y $H(v_i,v_i) = 1$ para cada $i$ .

   La transposición de la transformación se define como en términos de las formas bilineales. Si se cambian las formas, la "transposición" puede cambiar. Esto es igual que, si cambias el producto interno de un espacio vectorial, entonces si una proyección es una "proyección ortogonal" o no puede cambiar también.

2. Esta es realmente la definición de la doble es válida para cualquier espacio vectorial (tanto de dimensión finita como infinita). En el caso de dimensión infinita, no se puede relacionar con la definición anterior, porque $W^*$ no es isomorfo (ni siquiera no canónico) con $W$ , ni $V^*$ con $V$ . En el caso de dimensión finita, se puede definir una forma bilineal específicamente para que las bases dadas de $V$ y $W$ son ortonormales, y luego identificar $W^*$ con $W$ identificando la base con la base dual de forma obvia, y de forma similar para $V^*$ y $V$ . Entonces la transposición definida aquí coincide con la transposición definida en 1.

3. Dado un producto interno de espacios vectoriales $V$ y $W$ con productos internos $\langle-,-\rangle_V$ y $\langle -,-\rangle_W$ respectivamente, el adjunto de una transformación lineal $T\colon V\to W$ es una función $T^*\colon W\to V$ tal que para todo $v\in V$ y $w\in W$ , $$\langle T(v),w\rangle_W = \langle v,T^*(w)\rangle_V.$$ No es difícil demostrar que si el adjunto existe, entonces es único y lineal; y que si $V$ y $W$ son de dimensión finita, entonces el adjunto siempre existe. Si $\beta$ y $\gamma$ son bases ortonormales para $V$ y $W$ Entonces resulta que $[T^*]_{\gamma}^{\beta} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^*$ , donde $A^*$ es la transposición conjugada de la matriz $A$ . Si los espacios vectoriales son real espacios vectoriales, entonces la matriz del adjunto es sólo la transposición.

   Es un teorema que $$\mathrm{ker}(T) = (\mathrm{Im}(T^*))^{\perp}.$$ Si los espacios son de dimensión finita, entonces también se tiene $$\mathrm{Im}(T^*)=(\mathrm{ker}(T))^{\perp}.$$ Si consideras las matrices relativas a bases ortonormales sobre los reales, esto se traduce en las ecuaciones que tienes para las matrices.

   Este teorema utiliza la primera definición, siendo las formas bilineales los productos internos de los espacios, suponiendo que son espacios vectoriales reales (en lugar de complejos), y las bases utilizadas son bases ortonormales.

Answer 2

Si $f:V\to W$ es un mapa lineal entre espacios vectoriales $V$ y $W$ con formas bilineales no degeneradas, definimos la transposición de $f$ para ser el mapa lineal $t_f:W\to V$ determinado por $$B_V(v,t_f(w))=B_W(f(v),w)$$ para todos $v\in V$ y $w\in W$ . Aquí, $B_V$ y $B_W$ son las formas bilineales en $V$ y $W$ respectivamente. La matriz de la transposición de un mapa es la matriz transpuesta sólo si las bases son ortonormales con respecto a sus formas bilineales.