Elemento neutral en monoide.

Question

Permita que$(G, *) $ sea un monoide. Deje$g \in G$ y$ g = g * g $. ¿Puedo suponer que ese$g$ debe ser un elemento neutral? ¿Por qué?

Answer 1

No, no puedes. $\mathbb{N}^{\geq 0}$ es un monoide bajo multiplicación, pero$g=0$ no es el elemento de identidad aunque satisface su condición.

Answer 2

De hecho, hay monoids todos de cuyos elementos tienen esta propiedad (que se llama idempotente). Por ejemplo, usted puede tomar el conjunto subyacente de cualquier poset con finito de combinaciones o finito cumple (semilattices).

Como ejemplo de ese ejemplo, el conjunto totalmente ordenado $\{ 1, 2, \dots n \}$ tiene une y reúne dado por tomar max y tomar min, respectivamente. Ambos de estos definen un monoid estructura donde cada elemento es idempotente.

Answer 3

No. Tome$G=\mathbb Z$ y$g=0$.

Se pueden encontrar ejemplos mucho menos drásticos en matrices.

Answer 4

Contraejemplo mínimo El monoid$\{0, 1\}$ con la multiplicación habitual de enteros. Entonces$0 * 0 = 0$ y$1 * 1$ pero$0 \not= 1$.

Answer 5

No, y aquí está un ejemplo más complejo: vamos a $\Bbb N$ ser los números naturales, es decir,$\Bbb N = \{ 0, 1, 2, 3, \ldots \}$; nota estoy permitiendo $0 \in \Bbb N$. Para cualquier $n \in \Bbb N$, $n \ge 2$, deje $M_n(\Bbb N)$ el conjunto de $n \times n$ matrices con entradas tomadas de $\Bbb N$. Está claro que $M_n(\Bbb N)$, con el funcionamiento habitual de la multiplicación de la matriz, forma una (no conmutativa) monoid con identidad $I$. Sin embargo, cualquier matriz $G$ formado por la sustitución de al menos una diagonal de entrada de $I$ $0$ también satisface $G^2 = GG = G$, pero es fácil construir ejemplos que muestran ninguna de dichas $G$ satisface $GA = AG = A$ todos los $A \in M_n(\Bbb N)$; por ejemplo, $A = I - G \ne 0$ algunos $G$. A continuación,$AG = GA = G(I - G) = G - G^2 = 0 \ne A$. Tal $G$, aunque idempotente, no son el elemento de identidad de $M_n(\Bbb N)$.