Consideremos la siguiente EDP para $f(x, y)$ : $$ x\frac{\partial f}{\partial y} = y\frac{\partial f}{\partial x}\tag{1} $$ Está claro que se pueden separar las variables, así que toma $f(x, y) = p(x)q(y)$ : $$ xp(x)q'(y) = yq(y)p'(x)\implies \frac{p'(x)}{xp(x)}=\frac{q'(x)}{yq(x)}=C $$ Entonces: $$ \frac{p'}{p}=Cx\implies d(\ln p) = d(Cx^2/2)\implies p(x) = e^{Cx^2/2} $$ Del mismo modo, para $y$ , por lo que tenemos que $f(x, y) = e^{C(x^2 + y^2)/2}$ . Ahora aquí está la cosa, uno podría notar aquí que de hecho $f(x, y) = g(u(x, y)), u(x,y) = C(x^2 + y^2)$ para cualquier $g$ resuelve la ecuación como: $$ \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial u}2Cx \quad\quad \frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial u}2Cy $$ Lo que claramente resuelve $(1)$ . Al separar las variables, por supuesto he eliminado la posibilidad de encontrar soluciones como $f(x, y) = x^2 + y^2$ Así que lo que quiero saber es si hay o no algún método para resolver $(1)$ que encuentra la clase más general de soluciones $g(x^2 + y^2)$ ?
Respuestas
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Geométricamente, esto es poner a cero la derivada angular del campo escalar.
Obsérvese que en coordenadas polares,
$$e_r \cdot \nabla = \partial_r = \frac{x \partial_x + y \partial_y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$
y
$$e_\theta \cdot \nabla = r \partial_\theta = x \partial_y - y \partial_x$$
Así que se le da, esencialmente, que $\partial g/\partial \theta = 0$ (donde $g$ es $f$ expresado en coordenadas polares), y así $g$ puede verse como una función de $r$ solo, es decir $g = g(r)$ . Al descartar $\theta$ Dependencia de esta manera, el problema se convierte en adecuado para los métodos ODE, que es el método de las características.
He aquí otro enfoque: se puede escribir $ \dfrac{\partial}{x\partial x }f = 2\dfrac{\partial}{\partial(x^2)} f,$ y de manera similar $\dfrac{\partial}{y\partial y} f = 2\dfrac{\partial}{\partial(y^2)} f.$ Así, si cambiamos las variables a $s = x^2, t = y^2$ la EDP se reduce a $\dfrac{\partial}{\partial s} f = \dfrac{\partial}{\partial t} f.$ De ello se desprende que la derivada direccional (en cualquier punto) de $f$ en el $(1,-1)$ -desaparece, es decir, que $f$ es constante a lo largo de las líneas $s +t =$ constante.
Volviendo a las variables originales, vemos que $f$ es constante a lo largo de las curvas $x^2 + y^2 =$ constante, es decir, es una función de $x^2 + y^2$ .
