¿Qué es exactamente la base estándar?

Question

Estoy confundido sobre la diferencia entre las coordenadas y la base. Mi confusión es la siguiente:

Deje que $e_i$ denotan la base estándar y $v_i$ denotan una base no estándar de un finito $n$ -espacio vectorial dimensional $V$ . Luego $e_i = ( \delta_ {ij})$ (todas las entradas cero excepto $i$ -th). Pero: las coordenadas de $v_i$ con respecto a la base $v_i$ también son $( \delta_ {ij})$ . Ahora la definición de base estándar se vuelve circular: se supone que es la base con vectores $( \delta_ {ij})$ pero cada vector base tiene estas coordenadas con respecto a sí mismo.

Entonces, ¿qué es exactamente la base estándar?

Answer 1

Como ya se ha señalado en otras respuestas, la noción de "base normalizada" sólo se aplica al muy particular $K$ -espacios vectoriales $K^n$ cuyos elementos son $n$ -tuplas de elementos de $~K$ (escalares). He subrayado "son", porque en cualquier $n$ -dimensión $K$ -espacio vectorial se puede Representar a vectores por $n$ -de escalares (después de haber elegido una base ordenada; los escalares son las coordenadas de estos vectores en esta base); sin embargo, en general un vector y su $n$ -tupla de coordenadas siguen siendo dos cosas diferentes.

¿Sabes cuál es la base estándar de $K^n$ es (y en realidad es una base ordenada: más que un conjunto de vectores, es una lista donde cada vector base tiene su propio lugar). El único punto que me gustaría añadir es mencionar la propiedad que hace que esta base particular destaque entre otras bases, ya sea de $K^n$ o de otros espacios.

La propiedad. Cualquier $v\in K^n$ es igual a la $n$ -tupla de coordenadas de $v$ con respecto a la base estándar de $~K^n$ .

Es evidente que para que esta propiedad se cumpla, es necesario que dichos vectores $v$ sea $n$ -tuplas de escalares en primer lugar, es decir, que el espacio vectorial en cuestión sea $K^n$ . Además, las coordenadas $(c_1,\ldots,c_n)$ de $v$ con respecto a una base ordenada $(\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)$ son por definición los escalares tales que $v=c_1\mathbf e_1+\cdots+c_n\mathbf e_n$ se mantiene; si (con $v\in K^n$ ) se requiere que además $v=(c_1,\ldots,c_n)$ como se indica en la propiedad, esto requiere que $$ (c_1,\ldots,c_n)=c_1\mathbf e_1+\cdots+c_n\mathbf e_n. $$ Esto debería ser así para todos los valores posibles de $c_1,\ldots,c_n\in K$ . En particular, se pueden tomar algunas $c_i=1$ y todos los demás $c_j$ cero, y esto lleva a la conclusión de que $\mathbf e_i\in K^n$ tiene que ser $(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ con el componente no nulo en la posición $~i$ Esto debería ser así para todos los $~i$ . Una vez comprobados estos casos, todos los demás se deducen por linealidad. Así que la propiedad indicada se mantiene para la base estándar, y también caracteriza la base estándar de $~K^n$ .

Answer 2

El término base estándar sólo se aplica a los espacios vectoriales de la forma $\Bbb F^n$ cuando cada vector es de la forma $(x_1, x_2, ..., x_n)^T$ . A continuación, usted estipula $e_i := (0, ..., 0, 1, 0, ...,0)^T$ ( $1$ en el i $^{th}$ lugar), que es independiente de la elección de la base. Para los espacios vectoriales arbitrarios no tiene sentido hablar de bases estándar.

Editar: Si $V$ es un $n$ -espacio vectorial de dimensiones, entonces el vector de coordenadas $[v]_B$ de $v \in V$ en relación con una base $B = \{v_1, ..., v_n\} $ de $V$ se define como sigue: Sea $f: B \to \Bbb F^n$ sea el mapa $v_i \mapsto e_i$ . Ampliar $f$ a un mapa lineal $V \to \Bbb F^n$ definimos $[v]_B := f(v)$ . Por supuesto, según esta definición $[v_i]_B = e_i$ pero eso no significa que $v_i = e_i$ .

Answer 3

" A finito $n$ -espacio vectorial de dimensiones $V$ " no tiene una base estándar. El específico $n$ -espacio vectorial de dimensiones $\mathbb{R}^n$ sí tiene una base estándar: aquella cuyos vectores son los $n$ -tuplas que tienen cero entradas, excepto una sola.

Answer 4

Hay dos sentidos de "coordenadas". Una se define con respecto a una base en un $n$ -de un espacio vectorial. El otro se refiere a tupés ordenados de números $(a_1,\ldots,a_n)\in \mathbb R^n$ . (O cualquiera que sea su campo base.) El base estándar es la única base en $\mathbb R^n$ para los que estos dos tipos de coordenadas son iguales.

Editar: Otros espacios vectoriales concretos, como el espacio de polinomios de grado $\leq n$ también puede tener una base tan canónica que se llama base estándar. En este caso, los vectores de la base estándar son $1, x, x^2, \ldots, x^n$ .

No estoy seguro de que sea común hablar de una "base estándar" en una $n$ -espacio vectorial de dimensiones. Si tienes un libro de texto que lo haga, sería útil citar el contexto.

Answer 5

La base estándar surge cuando identificamos un espacio vectorial de dimensión finita $V$ con $\Bbb R^n$ . Tomamos cualquier base en $V$ digamos, $\vec v_1,\dots,\vec v_n$ . Entonces podemos decir que cualquier vector $\vec w\in V$ es una combinación lineal de vectores base: $$\vec w=\sum_{j=1}^n\alpha_{j}\vec v_j.$$ En otras palabras, en lugar de decir "un vector $\vec w$ "podemos decir "un vector cuyas coordenadas son $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ ", que se puede ver claramente como un elemento en $\Bbb R^n$ . Entonces, en $\mathbb R^n$ introducimos una base estándar.