Tomando la segunda derivada de una curva paramétrica

Question

Entiendo que para las ecuaciones paramétricas

$$\begin{align*}x&=f(t)\\ y&=g(t)\end{align*}$$

Si $F(x)$ es la función con el parámetro eliminado, a continuación, $\displaystyle F'(x) = \frac{\text{d}y}{\text{d}t}\big/\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$

Pero el procedimiento para tomar la segunda derivada es descrito como "reemplazar $y$ con dy/dx" para obtener

$$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)=\frac{\left[\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)\right]}{\left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)}$$

No entiendo la justificación para este paso. No en todos.

Pero todo eso es mi libro dice sobre el asunto, a continuación, se pone en marcha en conectar cosas en esta fórmula, y parece que funciona bastante bien, pero no sé por qué.

A menudo me encuentro respuestas acerca de la pregunta sobre los diferenciales están más allá de mi nivel, realmente me gustaría conseguir este, que iba a significar mucho para mí si alguien pudiera romper.

Answer 1

Considerar

$$\begin{align*} \frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}&=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)\\ &=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right).\frac{\text{d}t}{\text{d}x}\\ \end {align *}$$
donde la última igualdad es como resultado de aplicar la regla de la cadena.

Answer 2

Su justificación es que usted puede utilizar el mismo proceso para $\frac{dy}{dx}$ en cuanto a $Y$ ya que ahora pueden considerar $Y_2 = g_2(t) = \frac{dy}{dx}(t)$, que es, una vez más tienes una ecuación paramétrica en el parámetro $t$, y la ecuación paramétrica $x$ sigue igual.