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Question

Estoy tratando de mostrar:

$$ \ log \ prod_p \ frac {1} {1-p ^ {- s}} = \ sum_p \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {np ^ {ns}} $$

Usando las propiedades del logaritmo obtengo:

$$\log \prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}=\sum_p\log\frac{1}{1-p^{-s}}=\sum_p(\log 1-\log (1-p^{-s}))=$ $$$=-\sum_p \log(1-p^{-s})=-\sum_p \log\bigg(\frac{p^s-1}{p^s}\bigg)$ $

El registro se puede expandir más, pero parece que me aleja del resultado.

Me doy cuenta de que la suma sobre$n$ proviene de una suma geométrica, pero no veo de dónde obtenerla, ni cómo deshacerme del logaritmo.

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda o consejo!

Answer 1

Progreso realizado:$$\log\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}=-\sum_p\log(1-p^{-s})$ $

Serie de Taylor:$$\log(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-x^n}{n}$ $

Plug and chug:$$\log(1-p^{-s})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-p^{-sn}}{n}$ $

ps