Los 4 vectores en la relatividad especial y el intervalo espaciotemporal

Question

En una de mis clases de mecánica vectorial, el profesor dijo que el intervalo espacio-tiempo era el producto punto de los cuatro vectores de posición. Pero luego procedió a demostrar que era esto: $s^2$ = $\Delta r^2$ - $c^2\Delta t^2$ ,

¿De dónde viene el signo menos? Todos los productos punto que he hecho hasta ahora no tienen signo negativo. ¿Qué cambia con un vector cuatro? Hizo una demostración, pero eso no lo hizo más claro. Utilizó algo llamado la métrica de Minkowski, pero que casualmente tiene un signo menos allí sin ninguna razón dada.

Answer 1

Creo que esta pregunta es un poco más baja que la que se está marcando como duplicada, así que voy a responderla.

Lo básico que hay que saber es que un producto interior en el espacio de 4 vectores no necesita tener la forma que tiene en coordenadas euclidianas. Es decir, definir $w = ct$ no es necesariamente el caso para todos los espacios vectoriales 4-D que: $$\vec a \cdot \vec b = a_w b_w + a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.$$ Probablemente el más fácil de entender es un asimétrico sistema de coordenadas donde sus vectores base $\hat e_{w,x,y,z}$ no son ortogonales: sí $\vec a = \sum_i a_i \hat e_i$ para algunos vectores base, pero $\hat e_i \cdot \hat e_j \ne \delta_{ij}$ (donde $\delta$ es el símbolo delta de Kronecker). Entonces es obvio que si $C_{ij} = \hat e_i \cdot \hat e_j$ el resultado tiene en cambio una matriz escondida en su interior: $$\vec a \cdot \vec b = \sum_{ij} a_i C_{ij} b_j = \mathbf a^T ~\mathbf C~ \mathbf b.$$ Esta matriz tiene un nombre especial y se llama métrica o el tensor métrico .

A su vez, podemos imaginar un "producto interno" para los vectores en $\mathbb R^4$ con cualquier otra métrica, y ver a dónde va. La única condición habitual es que la matriz sea simétrico , $\mathbf C^T = \mathbf C,$ y normalmente invertible para que el "espacio dual" sea "isomorfo" al espacio vectorial original -- hablaremos de lo que son estos "vectores duales" en un segundo.

Así que en la relatividad especial tenemos este "grupo de Lorentz" de transformaciones de coordenadas, y si vamos a ir a fondo con este negocio de la relatividad, entonces todo lo físico, tal como lo conocemos, debe depender de 4 vectores y otras cantidades que no se cambian por el grupo de Lorentz, de lo contrario sus predicciones experimentales dependerán no trivialmente de las coordenadas que utilice.

Pues bien, resulta que el grupo de Lorentz preserva los "productos punto" para una métrica diferente, que viene dada como $\pm$ (según la convención) de la matriz: $$\mathbf {g} =\begin{bmatrix}1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\end{bmatrix},$$ a veces también llamado por el símbolo $\mathbb \eta.$ Tanto si utiliza $+$ ou $-$ depende esencialmente de si le gusta pensar en el tiempo como una dimensión imaginaria del espacio o en el espacio como una dimensión imaginaria del tiempo; de cualquier manera, algunos factores de $\sqrt{-1}$ aparecen en algunas expresiones pero no en otras. Prefiero $+$ porque significa que las trayectorias que permanecen "dentro" de un cono de luz tienen un intervalo de espaciotiempo positivo y el "tiempo propio" es sólo la raíz cuadrada del intervalo de espaciotiempo, pero otras personas pueden tener otras convenciones.

Ahora bien, el grupo de Lorentz tiene tres tipos de "generadores" (cosas diferentes que pueden ocurrir y que construyen el grupo entero). Se trata de las transformaciones de paridad (multiplicando el componente w o el vector 4 completo por -1), las rotaciones del subespacio 3D (x, y, z), y los "impulsos de Lorentz" de la forma $$\mathcal L_x(\beta) = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} ~ \begin{bmatrix}1&-\beta&0&0\\ -\beta&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{bmatrix}.$$ La derivación exacta de estos aumentos la dejaré para otros tutoriales, y como las rotaciones en 3D preservan la métrica euclidiana $\mathbf C = \mathbf I$ no debería ser muy difícil ver que también conservan el 3D $\mathbf C = -\mathbf I$ mientras que no hacen nada a la coordenada de tiempo, por lo que conservan $\mathbf g$ y nos saltaremos esa prueba. También vamos a ignorar la $y$ y $z$ -direcciones y centrarse en la $wx$ -mezcla de impulso de Lorentz. (No hay pérdida de generalidad aquí: cualquier transformación en el grupo de Lorentz puede escribirse como una rotación seguida de un impulso de Lorentz en el $x$ dirección seguida de otra rotación).

En primer lugar, antes de empezar, puede confirmar la consistencia matemática de la relatividad especial mediante $\mathcal L(-\beta) \mathcal L(\beta) = I,$ que siempre es una buena manera de empezar.

Ahora nuestro impulso $\mathcal L = \mathcal L_x(\beta)$ mapas $\mathbf a \mapsto \mathcal L~\mathbf a$ y $\mathbf b \mapsto \mathcal L~\mathbf b$ así que nuestro producto interno entre estos dos se convierte en..: $$\mathbf a^T ~\mathbf g ~ \mathbf b \mapsto (\mathcal L~\mathbf a)^T ~\mathbf g~(\mathcal L~\mathbf b) = \mathbf a^T (\mathcal L^T ~ \mathbf g ~ \mathcal L) \mathbf b.$$ Para que esto sea un escalar debe ser invariable por el impulso de Lorentz, por lo que necesitamos $\mathcal L^T ~ \mathbf g ~ \mathcal L = \mathbf g.$ Puede confirmar que el siguiente producto matriz funciona: $$\begin{align}\mathcal L(\beta)^T ~\mathbf g~ \mathcal L(\beta) &= \frac{1}{1 - \beta^2}\begin{bmatrix}1&-\beta\\-\beta&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&-\beta\\-\beta&1\end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{1 - \beta^2}\begin{bmatrix}1 - \beta^2&0\\0&\beta^2 - 1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} = \mathbf g \end{align}$$ lo que demuestra que los aumentos de Lorentz preservan de forma distintiva este producto punto particular de esta métrica particular para todos los 4 vectores.

Argumentos similares sobre $\mathbf A^T ~ \mathbf g ~ \mathbf A$ se aplican para las transformadas de paridad y para las rotaciones, por supuesto. Normalmente exigimos una invariancia aún más amplia de todas nuestras predicciones físicas bajo el "grupo de Poincaré", que toma el grupo de transformaciones de coordenadas de Lorentz y le añade las traslaciones espacio-temporales, pero esto sólo significa que siempre hablamos de diferencias en las posiciones, digamos que incluyendo explícitamente nuestro punto de "origen" del espaciotiempo en nuestras expresiones.

Esta métrica, por lo tanto, es la forma en que producimos números escalares a partir de 4 vectores que son "invariantes" en la relatividad especial, lo que ayuda a hacer teorías físicas que son "manifiestamente covariantes" - sus predicciones no cambian con respecto a los aumentos de Lorentz o las rotaciones o traslaciones de coordenadas.

Un punto más de notación: cuando tenemos una métrica que no es la métrica euclidiana trivial, la gente suele escribir el vector columna $\mathbf b$ con índices "superiores" $b^i$ y el vector fila $\mathbf a^T ~\mathbf g$ , a menudo llamado el "dual" de $\mathbf a$ , con índices "inferiores" $a_i$ . Esto preserva la apariencia de la fórmula de suma anterior; siempre podemos afirmar: $$\vec a \cdot \vec b = \sum_i a_i b^i = \sum_i a^i b_i.$$ A su vez, es muy común sumar implícitamente cada vez que se ve el mismo símbolo para un índice bajado y elevado, la llamada "convención de suma de Einstein". Con la métrica anterior esto se hace muy fácil: siempre que tengas un vector 4 $(A, \vec b)$ (componente temporal más componente espacial), el vector dual es $(A, -\vec b)$ y el producto interior covariante de Lorentz entre dos de estas cosas es $A_1 A_2 - \vec b_1 \cdot \vec b_2$ para la definición euclidiana "ordinaria" del producto punto.

A su vez, al hacer esto con el 4-displacement $(c~\Delta t, \Delta \vec r)$ da una cantidad invariante de Poincaré $c^2 (\Delta t)^2 - |\Delta \vec r|^2$ . Se trata de una cantidad que el impulso de Lorentz preserva, y puede considerarse como un "producto punto" (en realidad debería llamarse "producto interno covariante de Lorentz") de los dos vectores del espaciotiempo.

Si es positiva, la raíz cuadrada se llama tiempo adecuado entre los dos eventos que mide el desplazamiento del espaciotiempo entre ellos; es el tiempo que transcurre para los marcos de referencia inerciales que piensan que ambos eventos ocurrieron "en el mismo lugar". Si es negativo, entonces $\sqrt{-\sum_i r_i r^i}$ es una "distancia propia" entre los dos eventos vistos por los marcos de referencia que piensan que ambos eventos ocurrieron "al mismo tiempo". En la relatividad, estos conceptos se excluyen mutuamente: las cosas que están objetivamente separadas en el espacio no están objetivamente separadas en el tiempo y viceversa.

Answer 2

En una de mis clases de mecánica vectorial, el profesor dijo que el intervalo espacio-tiempo era el producto punto de los cuatro vectores de posición. Pero luego procedió a demostrar que era esto: $s^2$ = $\Delta r^2$ - $c^2\Delta t^2$ ¿De dónde viene el signo menos?

Ver Einstein's Derivación simple de la transformación de Lorentz . Es muy sencillo. La luz se desplaza una distancia x en un tiempo t a una velocidad c por lo que x = ct por lo que x - ct = 0. Ahí está el signo menos.

Todos los productos de puntos que he hecho hasta ahora no tienen signo negativo. ¿Qué cambia con un vector cuatro? Él hizo una demostración, pero eso no lo hizo más claro. Utilizó algo llamado la métrica de Minkowski, pero que casualmente tiene un signo menos sin ninguna razón dada.

No estoy seguro de lo que dijo. Pero mira este artículo junto con Wikipedia :

"En un intervalo similar al de la luz, la distancia espacial entre dos eventos está exactamente equilibrada por el tiempo entre ambos eventos. Los sucesos definen un intervalo espaciotemporal de cero ( $S^2 = 0$ ). Los intervalos luminosos también se conocen como intervalos "nulos".

El intervalo del espaciotiempo no es realmente la "distancia del espaciotiempo" que la gente dice que es. Denota su tiempo propio. Véase el intervalo de tiempo en WIkipedia: "La medida de un intervalo espaciotemporal similar al tiempo se describe por el intervalo de tiempo propio" . Si eres un fotón parecido a la luz, tu tiempo propio es siempre cero, aunque viajes un año luz. Ese año luz no es una distancia cero, o una separación cero entre eventos. Si sólo eres tú, sentado en tu escritorio con un reloj de luz de espejos paralelos frente a ti, ese reloj de luz hace tictac a una cierta velocidad. Pero si chasqueo mis dedos mágicos y te envío en un viaje rápido a través del espacio, tu reloj de luz marca un ritmo más lento, de acuerdo con el teorema de Pitágoras. Ver el simple inferencia de la dilatación del tiempo debido a la velocidad relativa . Su tiempo adecuado es en esencia el número de reflejos. Cuando te mueves más rápido y te observo a través de mi telecopio gedanken, veo una reducción del número de reflejos. Y si pudieras moverte a la velocidad de la luz, la luz de tu reloj de luz se aplana, y no hay reflejos. Así que tu tiempo propio es cero.

Obsérvese que si yo me quedo en casa con mi reloj de luz de espejos paralelos, y tú te vas de viaje de ida y vuelta con el tuyo, las longitudes del camino de la luz en nuestros dos relojes son las mismas. Eso es lo que subyace en el intervalo invariante del espaciotiempo.

Answer 3

Los espacios vectoriales con métricas de firma mixta (tanto con más como con menos en la firma métrica) son estructuras matemáticas conocidas y comprendidas, pero no es de extrañar que no hayas oído hablar de ellos antes de este punto: desde un punto de vista educativo, necesitas todo lo que has aprendido sobre los espacios métricos con métrica positiva-definida y más para dar sentido a estos espacios de firma mixta. Por ejemplo, todos los vectores no nulos tienen norma no nula en los espacios euclidianos, pero para un espacio de firma mixta, hay "vectores nulos" que son no nulos pero tienen norma cero. Es posible que haya que modificar o replantear algunos hechos que se daban por sentados.

Una vez que entiendas que se trata de una estructura matemática consistente y bien entendida, puedes ir convenciéndote de que se trata, a su vez, de un modelo fiable para el comportamiento del mundo real, para el espaciotiempo. Este proceso no consiste en prueba sino de identificar los fenómenos físicos con las estructuras matemáticas correspondientes: por ejemplo, identificar las posibles trayectorias de los rayos de luz con esos vectores nulos que he mencionado antes, o cómo la relatividad de la velocidad -los impulsos de Lorentz- se corresponde con las operaciones de rotación en un espacio de signo mixto.