Si $a^{n}-1$ es primer $a=2$ $n$ es primo?

Question

Yo estaba haciendo algunos conceptos básicos de la Teoría de los números problemas, y se topó con este problema :

Mostrar que si $a$ $n$ son enteros positivos con $n\gt 1$ $a^{n} - 1$ es primo, entonces $a = 2$ $n$ es el prime

Mi Solución : (Descuidado)

• $a^{n}-1$ = $(a-1)$ . $(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)$
• Esto significa que $(a-1)$ | $(a^{n}-1)$
• Pero $(a^{n}-1)$ es el prime
• Así , $(a-1)$ = 1 $\Rightarrow$ $a = 2$
• Ahora , vamos a $n$ ser compuesto
• $n = kl$ donde $1 \lt k \lt n$ $1 \lt l \lt n$
• Ahora , $a^{kl}-1$ = $(a^{k}-1)$ . $(a^{k.{(l-1)}} + a^{k.{(l-2)}} + ... + a^k + 1)$
• Esto significa que $2^{n} -1$ es compuesto
• Por lo tanto , hemos llegado a una contradicción

Mi Pregunta : Estoy en lo cierto ?

Answer 1

La prueba está bien hay dos o tres detalles, aunque (el mismo problema dos veces, en realidad), la oe ya se señaló en los comentarios:

• Probablemente se debe excluir el caso de $a=1$ inmediato. Con solo decir " $1^n -1 = 0$ no es primo para asumir $a>1$.

• Usted no puede derivar de $a^n -1$ ser un primer y $(a-1) \mid (a^n-1)$ que $(a-1)= 1$. Lo que puedes hacer es decir $a-1=1$ o $a-1 = a^n-1$. El último es imposible como $n > 1$ (e $a >1$); nótese aquí el uso de $n>1$.

• Cuando usted afirma que $a^{kl}-1$ es compuesto, se debe indicar explícitamente que ambos factores se presentan no $1$.

Estos no son grandes problemas, pero si uno es exigente con uno podía insistir en ellos.