Describir $\mathbb{R}[x]/(x^{2}+ax+b)$ donde $a,b \in \mathbb{R}$

Question

Así que, obviamente, el uso de quadractic fórmula, tenemos tres casos para las raíces de las que depende el discriminante. No estoy seguro de si estoy en lo cierto en esto, pero,

Caso 1: $a^{2}-4b>0$.

Entonces tenemos dos raíces reales por lo que este factores como $$\mathbb{R}[x]/(x-\alpha) \oplus \mathbb{R}[x]/(x-\beta).$$ (Supongo que aquí es desde $\alpha$ $\beta$ son diferentes, estos dos son los ideales comaximal así que podemos aplicar el Teorema del Resto Chino). Pero esto es isomorfo a $$\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}.$$

Caso 2: $a^{2}-4b < 0$.

En este caso, tenemos un complejo de raíz por lo que tenemos una extensión de grado $2$. Pero, obviamente, cualquiera que sea la raíz tenemos, esto está contenido en $\mathbb{R}[i]\cong \mathbb{C}$, por lo que debemos tener presente es $\mathbb{C}$ por la torre de la ley desde el $\mathbb{R}[i]$ es también un grado $2$ extensión de $\mathbb{R}$.

Caso 3: $a^{2}-4b=0$.

A continuación, tenemos una verdadera raíz con multiplicidad $2$. No estoy seguro de lo que esto es como si tenemos la raíz es $\alpha$, obtenemos $$\mathbb{R}[x]/(x-\alpha)^{2}$$ Desde estas raíces son las mismas, $(x-\alpha)$ $(x-\alpha)$ no comaximal creo, así que no sé lo que este anillo es.

Answer 1

Los dos primeros casos son correctos. Para el tercer caso, usted puede utilizar el mapa $$ \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[x], \quad f(x) \mapsto f(x+\alpha) $$ es un anillo de isomorfismo que los mapas de $x-\alpha$$x$, y por lo tanto induce un isomorfismo $$ \mathbb{R}[x]/(x - \alpha)^2 \to \mathbb{R}[x]/(x^2), \quad \overline{f(x)} \mapsto \overline{f(x + \alpha)}. $$ El resultado anillo de $\mathbb{R}[x]/(x^2)$ es el anillo de doble números. (Si le cambie el nombre de la variable $x$$\varepsilon$, entonces los elementos de a $\mathbb{R}[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ son de la forma $a + b \varepsilon$ $a, b \in \mathbb{R}$ $\varepsilon \neq 0$ (e $\varepsilon \notin \mathbb{R}$), pero $\varepsilon^2 = 0$.)

Probablemente debería ser también señaló que los tres resultados posibles $$ \mathbb{R} \times \mathbb{R}, \quad \mathbb{C}, \quad \mathbb{R}[x]/(x^2) $$ son pares no isomorfos: El anillo de $\mathbb{R}[x]/(x^2)$ es el único que contiene un valor distinto de cero nilpotent elemento (es decir,$x$) y $\mathbb{C}$ es el único ser un campo (o incluso un integrante de dominio).