Sé que $\|v\|_1\|v\|_\infty \leq (1+\sqrt{n})\|v\|_2^2$ pero no se puede encontrar una manera de refinar este límite. ¿Alguien sabe por dónde se puede empezar? Probando varios casos parece que la desigualdad es cierta.
Sin pérdida de generalidad, supongamos que el vector $v$ consiste en valores no negativos $v_1,v_2,\dots,v_n\geq 0$ tal que $\|v\|_\infty=v_1$ . Por lo tanto, basta con encontrar un $c$ tal que para todos estos vectores tenemos: $$ v_1(v_1+\dots+v_n)\leq c(v_1^2+\dots+v_n^2). $$ Mira eso: $$ c(v_1^2+\dots+v_n^2)-v_1(v_1+\dots+v_n)=(c-1)v_1^2+cv_2^2+\dots+cv_n^2-v_1v_2-\dots-v_1v_n. $$ Sin embargo: $$ \frac{c-1}{n-1}v_1^2+cv_i^2=(\sqrt{\frac{c-1}{n-1}}v_1-\sqrt cv_i)^2+2\sqrt{\frac{c(c-1)}{n-1}}v_1v_i. $$ Entonces se puede ver que para $c\geq \frac{1+\sqrt n}2$ tenemos: $$ 2\sqrt{\frac{c(c-1)}{n-1}}v_1v_i-v_1v_i\geq 0. $$ Esto implica la desigualdad para todo $c\geq \frac{1+\sqrt n}2$ .
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