¿Hay alguna prueba fácil de Brouwer ' Teorema de punto fijo s?

Question

Estoy tomando un curso en teoría de juego. Para demostrar el equilibrio de Nash nos requieren Teorema de punto fijo de Brouwer. Pero no he tomado un curso de topología por lo que estoy encontrando la prueba difícil de entender. Puede explicar el mismo Brouwer en poca manera fácil.

Answer 1

Por supuesto, "fácil" tiene un alto grado de subjetividad a él. Pero hay una prueba famosa por Emanuel Sperner que era (y sigue siendo) pulso para reducir al mínimo la cantidad de necesaria de la topología.

Estas notas del curso de Jacob Fox darán una exposición usando lema de Sperner. El documento comienza desde cero y prueba el teorema de Brouwer (para todos los $n$) en menos 2,5 páginas.

Answer 2

Eso creo. Prueba de Hirsch, que es de Guillemin y Pollack.

Va (algo parecido) esto:

Supongamos que $p:D^2\to D^2$ no tiene un punto fijo. Definir $r:D^2\to S^1$ $r(x)$ es el punto en el segmento de $x$ $p(x)$ $S^1$. $r$ sería una retracción del disco en el círculo. Esto es imposible.

Answer 3

Aigner da una prueba elemental para el caso $n = 2$ en las pruebas del libro.

Pero si no me equivoco hay Teorema del punto fijo de Brouwer arbitraria $n$ en la prueba de Nash.

saulspatz tiene una fuente para esto (y el caso general) en su comentario a la pregunta.

Answer 4

Usted podría tener un vistazo a John Milnor a tomar. Sus métodos son bastante elementales (el más difícil requisito previo necesario aquí es el conocido-pero raramente demostrado el cambio de variables teorema). Sin embargo, en mi opinión, esta prueba es bastante misterioso y que el mismo Juan parece estar de acuerdo con eso.

Answer 5

De distancia al barrio de Espacios topológicos por Gerard Buskes y Arnoud van Rooij acreditar un buen ' intuitiva ' (sección ~ 4.21). No es exacto, pero tiene un montón de diagramas y explicaciones.