Quiero derivar y de expresión para el colector $[\mathcal{L}_Z,\star]\omega$. He encontrado este post de mathoverflw que responde a esta pregunta, pero tengo un par de preguntas acerca de Willie Wong prueba. Cómo es la inversa de la métrica $g^{-1}$ definido? Me imagino que $g^{-1}$ es la métrica definida en los pares de $1$formas de $g^{-1}(\alpha,\beta)=g(\alpha^\sharp,\beta^\sharp)$ donde $\sharp$ denota el musical isomorfismo. Él entonces los estados que $\star\omega = \text{Vol}_g\cdot(g^{-1})\cdot\omega$. No entiendo donde esta expresión viene, o lo que el $\cdot$ operador representa. Lo más probable es que representa el tensor de la contracción. Yo tampoco entiendo de donde la expresión $\mathcal{L}_Zg^{-1} = g^{-1}(\mathcal{L}_Zg)g^{-1}$ proviene. Yo estaría muy agradecido si alguien puede explicar que es exactamente lo que sucede aquí.
Respuesta
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Sí, usted puede definir $g^{-1}$, como usted dice, por $g^{-1}(\alpha, \beta) = g(\alpha^{\sharp}, \beta^{\sharp})$, y también se puede definir como el único $(0, 2)$-tensor que satisface $\operatorname{tr}(g^{-1} \otimes g) = \operatorname{id}$ donde $\operatorname{id}$ es la identidad endomorfismo $\operatorname{id}(X) = X$ $\operatorname{tr}$ es ningún rastro. De cualquier manera, esto significa que si elegimos un marco de $(E_a)$, podemos definir la matriz de función $[g] = (g_{ab})$ cuyos componentes componentes $g_{ab} := g(E_a, E_b)$. Entonces, la representación de la matriz de $g^{-1}$ con respecto a la doble coframe es $[g^{-1}] = [g]^{-1}$ (de ahí la notación $g^{-1}$).
En la ecuación $\star \omega = \operatorname{Vol}_g \cdot (g^{-1}) \cdot \omega$:
- La expresión $(g^{-1}) \cdot \omega$ sólo significa que se utiliza el musical isomorfismo $\sharp$ a convertir $\omega$ a un totalmente tensor contravariante. Es definido por la declaración de ser lineal y declarando, para descomponible tensores, $(g^{-1}) \cdot (\alpha^1 \otimes \cdots \otimes \alpha^k) = (\alpha^1)^{\sharp} \otimes \cdots \otimes (\alpha^k)^{\sharp}$.
- La expresión $\operatorname{Vol}_g \cdot \psi$ significa que, como usted sugiere, que estamos totalmente de contrato $\psi$ a $\operatorname{Vol}_g$: de Nuevo, declaramos que este sea lineal, después de lo cual se caracteriza por su comportamiento en descomponible tensores: $\operatorname{Vol}_g \cdot (X^1 \otimes \cdots \otimes X^{\ell}) := \operatorname{Vol}_g(X^1, \cdots, X^{\ell}, \,\cdot\,, \cdots ,\,\cdot\,)$.
Finalmente, la derivación de la última identidad (NB como escrita, es una señal de error) es estándar. Si aplicamos $\mathcal L_Z$ a ambos lados de la identidad de $\operatorname{tr}(g^{-1} \otimes g) = \operatorname{id}$ y utilice el hecho de que se encuentran los derivados conmuta con las huellas, obtenemos $$\operatorname{tr}(\mathcal{L}_Z (g^{-1}) \otimes g) + \operatorname{tr}((g^{-1}) \otimes \mathcal{L}_Z g) = 0 .$$ Tensoring both sides with $g^{-1}$, taking a trace, and using the above identity (equivalently, applying $\cdot^{\sharp}$ a ambos lados), y luego reorganizar da el resultado. (Si esto no está claro, podría ser más fácil pensar en esta manipulación por escribir todo esto en términos de la matriz de representaciones).
