En una tabla de Cayley, ¿qué axiomas de Grupo fallan cuando una entrada aparece dos veces en una fila o en una columna?

Question

En una tabla de Cayley, ¿qué axiomas de Grupo fallan cuando una entrada aparece dos veces en una fila o en una columna?

Obviamente no es el axioma de Cierre, y después de una inspección, creo que el axioma de Inversos falla.

Sin embargo, no estoy tan seguro de cómo demostrar si fallan o no los otros dos axiomas (Identidad y Asociatividad).

Answer 1

Ninguna de las propiedades falla automáticamente

Para cualquier propiedad de grupo, siempre se puede encontrar una tabla de Cayley en la que haya una entrada duplicada y, sin embargo, esa propiedad siga siendo válida. Aquí hay ejemplos para cada uno:

1. La asociatividad aún puede mantenerse. $$\begin{array}{c|cc} \times& 0 & 1 \\\hline 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 1\end{array}$$

2. La identidad aún puede resistir. (El mismo ejemplo.) $$\begin{array}{c|cc} \times& 0 & 1 \\\hline 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 1\end{array}$$

3. Los inversos aún pueden mantenerse. (Aquí, $a$ y $b$ son inversas entre sí). $$\begin{array}{c|ccc} & e & a & b \\\hline e & e & a & b\\a & a & a & e \\b & b & e & a\end{array}$$

Sin embargo, o falla la asociatividad o fallan los inversos.

Si hay una fila duplicada, entonces $ab=ac$ para algunos $b\neq c$ . Supongamos que el operador tiene inversa y asociatividad. Entonces obtenemos $a^{-1}ab = a^{-1}ac$ para que $b=c$ - contradiciendo nuestra suposición de que $b\neq c$ .

Así que si hay una fila duplicada, el operador puede ser asociativo (como se muestra arriba), o tener inversos (como se muestra arriba), pero nunca ambos.

Para confirmarlo, observe que en las tablas de ejemplo anteriores, #1 es asociativa pero no invertible debido a 0, y #3 es invertible pero no asociativa porque $(bb)a = aa = a$ pero $b(ba) = be = b$ .)

Diagrama

Los grupos no pueden tener entradas repetidas. Por lo tanto, si una tabla tiene entradas repetidas, no es un grupo. Si no es un grupo, entonces no está en la región verde de este diagrama. Visualmente, puedes ver que tal tabla no puede ser asociativa y tener inversos al mismo tiempo. Y puedes demostrar que existen tablas con filas duplicadas que pertenecen a cualquier otra región no verde de este diagrama.

Answer 2

Si tienes un monoide, una entrada puede aparecer dos veces en una fila o en una columna. Sin embargo, se cumplen los axiomas de "identidad" y "asociatividad". Supongamos ahora que $xa = xb$ con $a \not= b$ . Entonces $x$ no puede tener una inversa, ya que de lo contrario $xa = xb$ implica $x^{-1}xa = x^{-1}xb$ Eso es, $a = b$ .

Answer 3

Actualización : La prueba que di de que no puedes tener inversos en absoluto asumía la asociatividad. De las tres propiedades en cuestión (identidad, inversa, asociatividad), se puede tener cualquier combinación, siempre que no tenga a la vez inversa y asociatividad.

Este cambio puede hacerse sin afectar a la identidad, aunque no tiene por qué. Como ejemplo, consideremos el grupo aditivo $\mathbb{Z}_2$ con $1+1=1$ en lugar de $1+1=0$ . Por inspección de los 3 casos relevantes, todavía hay una identidad en este conjunto y operación aunque las filas y columnas tengan información duplicada.

No es obligatorio. La definición ofensiva también podría haber sido $0+1=0$ sin cambiar nada más. Se puede comprobar fácilmente que el conjunto y la operación resultantes no tienen identidad.

Si no hay identidad, los inversos no existen. Al menos, las definiciones de inversa que conozco definen explícitamente tal cosa en términos de identidad.

Si existe una identidad, los inversos siguen sin existir. Consideremos (con notación multiplicativa y una identidad de $e$ ) la ecuación $ax=bx$ correspondiente a una fila con duplicados si $a\neq b$ . Obsérvese que si existieran los inversos tendríamos $ae=be$ pero como $e$ es la identidad que tenemos $a=b$ violando $a\neq b$ .

La asociatividad puede ir en ambos sentidos. El objeto $\mathbb{Z}_2$ con $1+1=1$ es asociativo e incluso tiene identidad. En cuanto a las modificaciones de $\mathbb{Z}_2$ también hay opciones no asociativas (como que todas las adiciones sean $0$ excepto $0+1=1$ ), pero ninguno de ellos tiene una identidad propia.

Con un poco más de elementos, podemos perder la asociatividad y conservar la identidad. Consideremos el conjunto $\{0,1,2\}$ con $0$ como identidad, $1+1=0$ y $2+1=0$ . Tenga en cuenta que $$\begin{aligned}2+(1+1)&=2+0\\&=2\neq1\\&=0+1\\&=(2+1)+1.\end{aligned}$$ El resto de operaciones se pueden definir como se quiera, y esta tabla de Cayley sigue correspondiendo a un conjunto con identidad y sin asociatividad.