Evaluar$\int_{-5}^{+5}\frac{dx}{1+f(x)}$ de la información dada

Question

$f(-x)f'(x)-f(x)f'(-x)=0$ y$f(0)=1$. Entonces, ¿cuál es el valor de$$\int\limits_{-5}^{+5}\frac{dx}{1+f(x)}$ $

Mi intento:

Desde la primera información,$f(x)f(-x)=k$ (alguna constante). Diferenciando ambos lados,$f(-x)f'(x)-f(x)f'(-x)=0$. Poniendo$x=0$, obtenemos$k=1$ (de la segunda información dada).

Ahora, no puedo seguir adelante.

Answer 1

Desde que tenemos

ps

ps

Answer 2

Deje$$I=\int_{-5}^5\frac{f(x)\,dx}{1+f(x)}\tag{1}$$ and make the substitution $ x = -u$. Then $$I=\int_5^{-5}\frac{f(-x)\,dx}{1+f(-x)}=\int_{-5}^5\frac{\frac1{f(x)}\,dx}{1+\frac1{f(x)}}=\int_{-5}^5\frac{dx}{1+f(x)}\tag{2}$$ so adding $ (1)$ and $ (2)$ gives $$2I=\int_{-5}^5dx=10\implies\boxed{\int_{-5}^5\frac{dx}{1+f(x)}=5}$ps

Answer 3

Como$f(x)=\frac{1}{f(-x)}$,$$\frac{1}{1+f(x)}=\frac{f(-x)}{f(-x)+1}$ $

Entonces, para cada$a>0$,$$\int_{-a}^{a}\frac{dx}{1+f(x)}=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)dx}{f(-x)+1}=\int_{-a}^a\frac{f(x)dx}{1+f(x)}=2a-\int_{-a}^{a}\frac{dx}{1+f(x)}$ $

donde la integral deseada es igual a$a$, y para$a=5$, el resultado es$5$.