Supongamos que $b \in \mathbb{R}$ y $|b| < \frac{1}{n}$ para cada número entero positivo n. probar que $b = 0$.

Question

Esto proviene de un ejercicio en el Apéndice C de Axler medida, análisis e integración. La siguiente es mi enfoque.

Supongamos que $b \neq 0$. Que $|b| = \epsilon$. Entonces por la propiedad de Arquímedes 2 $$\exists n^ \in \mathbb{Z}^+ \text{ such that} \frac{1}{n^}

AM me acerca esto correctamente, si estoy ¿hay otros enfoques?

Answer 1

Se están acercando correctamente y su enfoque es la más simple e intuitiva.

Pero si usted desea ser directa y analítico se podría hacer lo siguiente.

$b\in \mathbb R$ , por lo que existe una secuencia de $q_n \in \mathbb Q$, de modo que $q_n \to b$.

Para cualquier $\epsilon > 0$ existe una $N$, de modo que $n > N$ implica $|q_n - b| < \frac {\epsilon}2$. Pero también hay un $k\in \mathbb N$, de modo que $0 < \frac 1k < \frac \epsilon 2$.

Así $|q_n- 0| \le |q_n - b| + |b-0|$. $|q_n - b| < \frac \epsilon 2$ y $|b-0| = |b| < \frac 1k < \frac \epsilon 2$$|q_n - 0| < \frac \epsilon 2 + \frac \epsilon 2 = \epsilon$.

Por lo $\lim_{n\to \infty} q_n = 0$. Pero $b = \lim_{n\to \infty} q_n $. Por lo $b = 0$.

Pero... me gustaría leer su prueba de mi prueba.

Answer 2

<h1>A prueba de</h1> <p>Asumir que $a \neq 0.$ luego $|a| \neq 0.$tomar $N=\lfloor\dfrac{1}{|a|}\rfloor+1 \in \mathbb{Z_+},$ donde $\lfloor x \rfloor$ denota la función de piso entero. Entonces $$\frac{1}{|a|}<\lfloor\dfrac{1}{|a|}\rfloor+1=N,$$ which implies that $$|a|>\frac{1}{N},$$which contradice.</p>

Answer 3

Su enfoque es correcto. Hay varias maneras de definir a $\Bbb R$ $\Bbb Q.$ todos Ellos resultado en isomorfo estructuras... Hasta el isomorfismo no es sólo una ordenó campo en el que todos los no-vacío subconjunto con un límite inferior tiene un mayor límite inferior, que es la razón por la que decimos "el" sistema numérico real, no "un" sistema numérico real.

Supongamos que sólo tenemos $\Bbb Q$, y esperamos tener una orden de campo $F$ $glb$ de la propiedad. Entonces no puede existir $b\in F$ tal que $0\ne b$ $|b|\leq 1/n$ por cada $n\in \Bbb N.$

Prueba: Supongamos que no. (yo). Consideremos el conjunto a$S=\{|b|/n:n\in \Bbb N\}.$$|b|^2$, es positivo el límite inferior de $S$ debido a que para cada $n\in \Bbb N$ tenemos $|b|^2=|b|\cdot |b|\leq |b|\cdot (1/n).$

(ii). Pero $S$ no $glb.$ Porque si $c>0$ $c$ es un límite inferior para $S,$$c<2c$, y para cada $n$ $\in \Bbb N$ tenemos $c\leq |b|/2n,$ lo que implica $2c\leq |b|/n.$ $2c$ es también un límite inferior para $S$.

Answer 4

Υou tiene razón. No puedo encontrar ningún problema en su método agradable, pero se le olvidó el valor absoluto de $b$.

Uno con el otro enfoque sería considerar $b$ como una secuencia... luego $lim{1/n}=0$ así que por lema de contracción también deberíamos tener $limb=0$ que conduce naturalmente a $b=0$