Problema de toda función: traducción

Question

Deje $f$ ser toda una función tal que $f\circ f$ no tiene puntos fijos. Demostrar que $f$ es una traducción $$z\mapsto f(z)=z+b \qquad (b\neq 0)$$

En primer lugar, hemos de probar que existe una constante $c\in \mathbb{C}\backslash \{0,1\}$ tal que $$f(f(z))-z=c(f(z)-z) $$ la aplicación de Picard a poco teorema. Si $c=0$,$f(f(z))=z$, lo $f\circ f$ tiene un punto fijo (el absurdo). Si $c=1$,$f(f(z))=f(z)$, lo $f$ es la identidad de $f(z)=z$ y, por supuesto, se ha fijado el punto (absurdo). A continuación, $$F(z)=\frac{f(f(z))-z}{(f(z)-z)}$$ es toda una función que no toma los valores 0 y 1 así, por Picard poco teorema, debe ser constante.

Además, he comprobado que $f'\circ f$ es una función constante. Vamos a ver esto. La diferenciación de $$f(f(z))-z=c(f(z)-z) $$ tenemos $$f'(z)f'(f(z))-1=cf'(z)-c$$ $$f'(z)[f'(f(z))-c]=1-c$$ De nuevo, la función completa $$G(z)=f'(z)[f'(f(z))-c]$$ no tomar los valores de $0$$1$, por lo que, por Picard Poco Teorema, entonces es constante.

Sin embargo, no sé cómo demostrar a este problema. Cualquier ayuda sería de apreciar.

Answer 1

Nota puede o no puede ser una superposición considerable entre lo que está abajo y lo que está en la versión actual de la cuestión; si es así es porque el OP fue la revisión de la pregunta, mientras yo estaba escribiendo la respuesta. Lo que realmente sucedió: En la versión original de la pregunta que él o ella afirmó que $f'\circ f$ era constante. Me mostró cómo el resultado seguido de que y le preguntó cómo mostrar que $f'\circ f$ era constante. Dio algunas no muy bien los argumentos para tal efecto, mientras que yo estaba fraguando en mi propia prueba. Él se lleva el crédito por $f(f(z))-z=c(f(z)-z)$, y para decir que se sigue que $f'\circ f$ es constante...

Hmm. Me tomé un minuto para ver cómo probar la primera cosa que usted dice que usted ha demostrado. Aún no veo cómo mostrar que $f'\circ f$ es constante. Pero si eso es correcto ya está hecho: Desde $f$ no tiene ningún punto fijo $f$ es no constante; por lo que el intervalo de $f$ es densa, por lo tanto $f'(f(z))=k$ todos los $z$ implica $f'(z)=k$ todos los $z$.

¿Cómo se puede mostrar $f'\circ f$ es constante?

Ah, aquí es cómo muestra que: en Primer lugar, si $c=0$ $f\circ f$ tiene un montón de puntos fijos. Por lo $c\ne0$. La diferenciación de la identidad de la primera muestra que $$f'(z)(f'(f(z))-c)=1-c.$$

Por lo tanto $f'\circ f$ no puede tomar los valores de $0$ o $c$. Si $f'\circ f(w)=c$$c=1$, lo $f(f(z))=f(z)$, para todos los $z$,, por lo $f(z)$ es un punto fijo de $f$ y, por tanto, de $f\circ f$. Y si $f'\circ f(w)=0$, a continuación, en particular, $f'$ tiene un cero, por lo que se deduce una vez más que el $c=1$.

Así que Picard muestra que $f'\circ f$ es constante (desde $c\ne0$).

Para el beneficio de, cualquier persona confundido por la prueba en el OP que $f(f(z))-z=c(f(z)-z)$: desde $f$ no tiene ningún punto fijo, $$F(z)=\frac{f(f(z))-z}{f(z)-z}$$ is entire. If $F(z)=0$ then $f\circ f$ has a fixed point,, while $F(z)=1$ implies $f(f(z))=f(z)$, so $f$ has a fixed point. So Picard shows $F$ es constante.