¿Si $A+B = AB$ luego demostrando que $AB = BA$?

Question

Aunque esto se ha hecho antes en el sitio principal de Si $A+B=AB$ $AB=BA$ , todavía tenía una consulta?

Si $A,B$ ambos $n \times n$ de la matriz y de las entradas son de $\Bbb{R}$. Si satisface $A+B = AB$, entonces podemos decir que el $A$ $B$ viaje? que es $AB = BA$ ?

Pensé en esto que nos da la regla de $A+B = AB$, por lo que también implica que $B+A =BA$ solamente intercambiando los roles de $A$$B$? a partir de la cual obtenemos $AB = BA$ por lo tanto $A$ $B$ viaje. Cualquier error en esto?

¿Cómo nos acercamos a este problema?

Answer 1

Los comentarios, especialmente de Marco, identificar el error fundamental en el razonamiento. Usted puede intercambiar de forma simétrica equivalente sólo las variables en una identidad. Aquí la identidad pertinente es en realidad una expresión lógica:

$(A-I)(B-I)=I\implies (B-I)(A-I)=I$

Que es donde usted puede intercambiar los symetrically equivalente variables.

Por cierto, la reclamación original realmente no es cierto para todos los pares de matrices satisface la hipótesis. Para finito de orden de las matrices, sí; pero considerar la infinita fin de matrices se define de la misma manera, para todos los números naturales $i, j$:

$A_{i,i}=A_{i,i+1}=1, A_{i,j}=0 \text{ otherwise}$

$B=A^t$

A continuación, $AB=A+B$ pero $BA\ne AB$. Llegamos $(AB)_{1,1}=2$ pero $(BA)_{1,1}=1$. Profundizando un poco más, nos encontramos con que $(A-I)(B-I)=I$ pero $(B-I)(A-I)\ne I$ debido a que este último tiene $0$ en lugar de $1$ $(1,1)$ posición. La identidad en la que una adecuada prueba se basa, no en general para el infinito orden de las matrices, y la demanda va con ella.