Evaluar

Question

Evaluar:$\displaystyle\int \frac{\sqrt{1+x^8}}{x^{13}}dx$

Mi intento :

He intentado sustituir$1+x^8=z^2$ pero eso no funcionó. También intenté escribir$x^{13}$ en el denominador como$x^{16}.x^{-3}$ con la esperanza de que traiga el integrando a alguna forma, pero eso tampoco funcionó.

Answer 1

La sustitución$x=\tan^{1/4}t$ da$$\int\frac{\sqrt{1+x^8}}{x^{13}}dx=\int\frac{1}{4}\sin^{-4}t\cos tdt=-\frac{1}{12}\sin^{-3}t+C=-\frac{1}{12}\bigg(\frac{x^8}{1+x^8}\bigg)^{-3/2}+C.$ $

Answer 2

Deje$x^4=\tan u$ para que$dx=\frac{\sec^2 u}{4x^3}du$

entonces nuestra integral se vuelve

$\int \frac{\sqrt{1+\tan^2 u}}{x^{13}}.\frac{\sec^2 u}{4x^3}du$

o mejor

$\frac{1}{4}\int \frac{\sec^3 u}{\tan^4 u}du$

cual es

$\frac{1}{4}\int \cos u\sin^{-4} u du$

que es igual

$-\frac{1}{12}\sin^{-3}u +C$

ahora sustituir de$u$ a$x$ que creo que es

$-\frac{1}{12}(\frac{x^8}{1+x^8})^\frac{-3}{2}+C$

Answer 3

$x=\dfrac1y,dx=-\dfrac{dy}{y^2}$

ps

Establecer$$\int\dfrac{\sqrt{1+x^8}}{x^{13}}dx=-\int\dfrac{y^{13}\sqrt{y^8+1}}{y^4\cdot y^2}dy$ o$\sqrt{y^8+1}=u $

Answer 4

Escriba la integral como$$\int \frac {\sqrt {1+\frac {1}{x^8}}}{x^9} dx$$ Use the substitution $$1+\frac {1}{x^8}=t^2$$ to get the new integral as $$\int \frac {-t^2}{4}dt$$ Which is very elementary to do and then after obtaining the answer resubstitute the value of $ t $.

Answer 5

Sugerencia Nosotros podemos reescribir al radical en el integrando en la forma familiar $\sqrt{1 + u^2}$ si sustituimos $$u = x^4, \qquad du = 4 x^3 \,dx .$ $