Puede una innumerable familia de positivo de la medida de los conjuntos tales que cada punto pertenece a sólo un número finito de ellos?

Question

Supongamos $M$ $\sigma$- finito medir el espacio, y $\Gamma$ un conjunto de positivo de la medida de subconjuntos de a $M$ de manera tal que cada punto en $M$ pertenece sólo un número finito de miembros de $\Gamma$. Debe $\Gamma$ ser contables? (Y si la respuesta a esta pregunta es no para general σ-finito medidas, es también no para, digamos, la medida de Lebesgue?)

• Puedo ver que si la conjetura de que Γ tiene que ser contable es cierto cuando se $M$ ha finito medida, debe ser también verdadero cuando se $M$ es σ-finito. (Sólo se descomponen $M$ a $M_0 ∪ M_1 ∪ \ldots$ donde cada una de las $M_i$ es finito medida. Para cada una de las $i$, sólo countably muchos de Γ se tiene medida positiva intersección con $M_i$; pero todos los miembros de la Γ debe tener positivo de la medida se solapan con algunos $M_i$, por lo que Γ debe ser contable.) Para que podamos centrarnos en el caso de que $M$ es finito medida.

• Puedo probar el siguiente resultado más débil: supongamos $M$ es finito-medir y Γ un conjunto de positivo de la medida de subconjuntos de a $M$ de manera tal que cada punto en $M$ pertenece a la mayoría de las $n$ de los miembros de la Γ, entonces Γ debe ser contable. (Para cada ε>0, en la mayoría de las $nμ(M)/ε$ de los miembros de la Γ tienen medida ≥ε. Así podemos enumerar a todos los miembros de la Γ por primera enumeración de aquellos con la medida≥1, entonces aquellos que con la medida ≥1/2, aquellos con medida ≥1/4, etc.)

• Volviendo a la original conjetura, puedo ver cómo probar si sólo se podía dar por sentado que para cada una de las $i$, la $E_i$ de los puntos en $M$ que pertenecen a exactamente $i$ de los miembros de la Γ es medible. En ese caso, yo podría utilizar primero el resultado más débil para mostrar que para cada una de las $i$, en la mayoría de los countably muchos de los miembros de la Γ han positivo de la medida se superponen con $E_i$, y a continuación, sostienen que desde $M = E_0 ∪ E_1 ∪ \ldots$ e las $E_i$ son medibles, cada miembro de la Γ debe tener positivo de la medida se superponen con al menos uno de los $E_i$, estableciendo que Γ es el mismo contables. Lamentablemente esto no funciona si el $E_i$ no son medibles, y no veo ninguna manera de demostrar que lo son.

(Esta pregunta es una pregunta de seguimiento que Puede innumerables familia de positivo de la medida de conjuntos de ser tal que ningún punto pertenece a una cantidad no numerable de ellos?)

Answer 1

Asume un número finito de medida. Hay un $\epsilon > 0$ y contables de la colección de $E_i$$\mu(E_i) > \epsilon$, porque la alternativa es que el $\lbrace E: \mu(E) > \frac 1 n \rbrace$ es finita para todas las $n$, lo cual haría de $\lbrace E: \mu(E) > 0 \rbrace$ contables. Deje $F_n = E_n \cup E_{n+1} \cup .... $. La secuencia de los indicadores de $1_{F_n} $ es monótona decreciente y converge a $0$ en el conjunto donde $x \in E_i$ finitely a menudo, y $1$ si $x \in E_i$ infinitamente a menudo. Es también limitada por 1. Por delimitada convergencia converge en $ \mathbb L _1$. Pero desde $\int 1_{F_n} d\mu > \epsilon $ el mismo debe ser cierto para el límite.

Answer 2

Aquí, más detallada y más elemental de la versión de mike prueba, el uso de continuidad más que la limitada teorema de convergencia, que estoy escribiendo, hasta la mayoría de mi propia edificación.

Supongamos que para algunos finito de medida $S$$ε>0$, hay una infinidad de $E⊂Γ$$μ(S∩E)≥ε$. Deje $E_0, E_1, E_2\ldots$ ser una contables de la secuencia de dichas $E$. Y deje $F_n = S ∩ (E_n ∪ E_{n+1} ∪ E_{n+2} ∪ \cdots)$. Claramente $μ(S) ≥ μ(F_i) ≥ μ(S∩E_i) ≥ ε$ por cada $i$, e $F_i ⊂ F_j$ siempre $j<i$. Así que por el hecho de que las medidas son continuos desde arriba (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(matemáticas)#Propiedades), $μ(\bigcap_{i=1}^\infty F_i) = \lim_{i→∞}μ(F_i) ≥ ε$. Pero para cualquier punto de $p$ en $S$, $p∈\bigcap_{i=1}^\infty F_i$ si y sólo si p pertenece a infinitamente muchas de las $E_i$. Por lo tanto, hay algunos puntos en $M$ (de hecho, un resultado positivo de medida conjunto de ellos) que pertenecen a infinitamente muchas de las $E_i$, contradiciendo la estipulación de que cada punto pertenece solamente a un número finito de miembros de la Γ.

Así que podemos concluir que por cada finito de medida subconjunto $S$ $M$ y cada una de las $ε>0$, hay sólo un número finito $E∈Γ$$μ(S∩E)≥ε$. Entonces el conjunto de $E∈Γ$ $μ(S∩E)≥0$ es contable para cada finito de medida $S$, ya que podemos enumerar estos $E$ por primera listado de aquellos para los que $μ(S∩E)≥1$, a continuación, aquellos para los que $μ(S∩E)≥1/2$, a continuación, aquellos para los que $μ(S∩E)≥1/3$, etc. Pero $M$ es σ-finito, así que hay una contables de la colección de finito de conjuntos de medida $S_0, S_1, S_2\ldots$ de manera tal que cada positivo de la medida subconjunto de $M$ positivo de la medida se superponen con al menos uno de $S_0, S_1, S_2\ldots$. Así Γ sí es contable, siendo la unión de countably muchos contable de conjuntos.