Mostrar que$G/G_m$ y$G/G_n$ son grupos isomorfos.

Question

Que $G$ el grupo multiplicative de números complejos de módulo $1$ y que $G_n$ (con $n$ un entero positivo) el subgrupo compuesto por las raíces de $n$-th de la unidad. Para enteros positivos $m$ $n$, quiero mostrar que $G/G_m$ y $G/G_n$ son grupos isomorfos.

Incluso no puedo demostrar que el mapa natural está bien definido. Por favor, ayúdame. Gracias.

Answer 1

Para cada $n$ el mapa $\Bbb{C}^{\times}\ \longrightarrow\ \Bbb{C}^{\times}:\ z\ \longmapsto\ z^n$ es un homomorfismo de grupo sobreyectiva con núcleo $G_n$, así que por el isomorfismo primer teorema $G/G_n\cong G$.