¿Incluso los polinomios de grado tienen incluso factores de grado (sin conjugados)?

Question

Incluso un grado del polinomio es un polinomio que tiene términos de solo grado, por ejemplo,$3x^6 + x^4 + 2x^2 + 5$.

Deje $p$ $q$ dos no-cero polinomios tales que ambos no tienen un término con el mismo grado (por ejemplo, $p = x^3 + x + 1$, $q = x^4 + 3x^2 + 5$ no está permitido ya que ambos tienen un término de grado 0). Un conjugado factor de par es un par de la forma $p + q$$p - q$.

Asumir toda la factorización es más enteros.

Ahora supongamos que existe un polinomio que no tiene un conjugado factor de par en es la lista de factores. Todos los factores, incluso de grado de los polinomios?

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Realmente no tengo idea de cómo acercarse a este problema. Lo único que he hecho es tomar ejemplos. Pero yo no estaba de éxito en la búsqueda de un contador de ejemplo.

Mi inspiración detrás de esta pidiendo era que, si se elimina el conjugado par de restricción, no hay ejemplos como el de $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ o $(x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) = x^4 + x^2 + 1$.

Answer 1

Deje $R:=\Bbb{Z}[X^2]\subset\Bbb{Z}[X]$ ser el sub-anillo de incluso 'grado' polinomios. Deje $P\in R$ factor en $\Bbb{Z}[X]$ $$P=\prod_{i=1}^nQ_i,$$ donde el $Q_i$ son irreductibles. Debido a $P\in R$ tenemos $P(X)=P(-X)$, por lo que $$\prod_{i=1}^nQ_i(-X)=P(-X)=P(X)=\prod_{i=1}^nQ_i(X),$$ así que por factorización única, para cada una de las $i$ existe alguna $j$ tal que $Q_i(-X)=Q_j(X)$. En particular, los coeficientes de $Q_i$ $Q_j$ son congruentes mod $2$, y así para los polinomios $$F:=\frac{Q_i+Q_j}{2}\qquad\text{ and }\qquad G:=\frac{Q_i-Q_j}{2},$$ tenemos $F,G\in\Bbb{Z}[X]$$Q_i=F+G$$Q_j=F-G$. Por lo $Q_i$ $Q_j$ son un par conjugado, a menos que $G=0$ que es el caso si y sólo si $Q_i=Q_j$.

Así que si $P$ no tiene ningún tipo de conjugado pares debemos tener $Q_i(X)=Q_i(-X)$ todos los $i$, lo que significa que $Q_i\in R$ todos los $i$, por lo que, de hecho, todos los factores de $P$ son incluso 'grado'.

Answer 2

Supongamos que$f(x)$ tiene un grado par y permite$f(x)=p(x)q(x)$ donde$p(x)$ es un factor irreducible de$f(x)$. Entonces$f(-x)=p(-x)q(-x)$ y así$p(-x)$ también es un factor de$f(x)$. Si$p(-x) \neq p(x)$, entonces$p(-x)$ divide$q(x)$ y así$f(x)=p(x)p(-x)g(x)$. Claramente,$p(x)$ y$p(-x)$ son pares conjugados.

Answer 3

ps

No parece que$$ { x ^ 2 } = { x \cdot x } $ y$x$ sea un "par conjugado" según su definición, ya que explícitamente exige que$x$ sea distinto de cero.