Cómo demostrar que no existe una función diferenciable con las derivadas parciales dadas

Question

Sea $U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:(x,y)\neq(0,0)\}$. Mostrar que no existe ninguna función diferenciable $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfaga $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{x}{x^2+y^2}.$$

Mi primera idea fue demostrar que estas parciales no son continuas en algún punto $(x,y)\neq(0,0)$, pero dado que es posible tener una función diferenciable que no sea $C^1$, esto no es suficiente. Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

En mi opinión, creo que este ejercicio es el ejercicio más importante en cálculo ya que es un punto de partida de la cohomología de de Rham, que muestra una interacción entre la topología y las funciones en ella. De todos modos, esta pregunta es equivalente a la siguiente: ¿podemos encontrar $f:U \to \mathbb{R}$ tal que $$ \nabla f = \left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, -\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)? $$ Si tal $f$ existe, el campo vectorial en el lado derecho será llamado como un campo conservativo, y por el teorema fundamental de la integral de línea, si integramos el campo vectorial sobre cualquier curva cerrada (simple) dada, el resultado debería ser cero. Sin embargo, si intentas integrarlo sobre un círculo unitario centrado en el origen, el resultado se convierte en $2\pi$.

Answer 2

Supongamos que existe una función $f$ y sea $\gamma\colon[0,1]\to U$ definida por $\gamma(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$, entonces: $$\int_\gamma\mathrm{d}f=f(\gamma(1))-f(\gamma(0))=0,$$ sin embargo, usando la fórmula dada para $\mathrm{d}f$, se encuentra que: $$\int_\gamma\mathrm{d}f=\int_0^1 \mathrm{d}f_{\gamma(t)}\cdot\dot{\gamma}(t)\,\mathrm{d}t=2\pi\int_0^1\frac{-\sin(2\pi t)^2-\cos^2(2\pi t)}{\cos^2(2\pi t)+\sin^2(2\pi t)}=-2\pi,$$ lo que lleva a una contradicción.

La intuición detrás de este razonamiento es que la forma angular $\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}$ no es exacta en $U$.