Consideremos el conjunto a $A$ de 2-tuplas de valores reales $(a,b)$, equipado con una adición define como $$ (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)$$ y la multiplicación se define como $$ (a,b) \times (c,d) = (ac+bd,ad-bc).$$
¿Qué es esta extraña poca cosa?
Esta álgebra tiene algunas propiedades. Por ejemplo:
en ambos lados de la multiplicación distribuye a través de la adición, debido a que la multiplicación es bilineal
se trata de una división de álgebra, ya que no hay divisores de cero
un subconjunto es isomorfo a los reales, $(a,0) \leftrightarrow a$
tiene una forma cuadrática positiva definida $$ (a,b)\times(a,b) = (a^2+b^2,0) $$
la identidad de la izquierda, $(1,0)\times(a,b) = (a,b)$
Pero tiene algunas extrañas propiedades:
no hay identidad para la multiplicación por la derecha
$z=(0,1)$ anti-desplazamientos con el subconjunto se indicó anteriormente como ser isomorfo a los reales $$ (a,0)\times z + z \times (a,0) = (0,0)$$
la multiplicación no es asociativa
la multiplicación no es aún el poder asociativo, como se ha visto con $z=(0,1)$,
$$ z\times(z\times z) = -(z\times z)\times z$$
- el centro es trivial, ya que sólo $(0,0)$ conmutan con todos los elementos.
Así que no estoy seguro de que en la terminología, pero esto también puede ser visto como el de "ampliar" los Reales con un exótico raíz cuadrada de 1, $$ z^2 = 1,$$ que anti-desplazamientos con la multiplicación de reales, $$\forall a \in \mathbb{R} : az+za=0.$$ Entonces el conjunto $A = \{a+bz : a,b \in \mathbb{R}\}$.
Después de jugar un poco con ella me di cuenta de que también puede ser visto como la toma de los números complejos y la definición de la operación: $$x \times y = x^*\ y$$
Que significa esto también es como tomar una 1D complejo espacio de Hilbert, y el tratamiento del producto interior como si se trata de una multiplicación, porque en este caso el escalar y un vector de la misma dimensión.
Esta extraña cosa es bastante sencilla que supongo que ha sido estudiado antes. ¿Tiene un nombre?
También, independientemente de si tiene un nombre, me gustaría saber la terminología adecuada para describir esto.
Debido a la relación de números complejos, sería matemáticos consideran que es "sólo los números complejos", ya que las operaciones pueden ser representados con números complejos?
Al menos no es isomorfo a los números complejos, ¿correcto?
Consideraría usted esta en 2D división real de álgebra distinta de la de los números complejos?
Puesto que la estructura se define en términos de las operaciones en los reales, y los elementos son una tupla de reales, se siente como este sería algún objeto "sobre los Reales". Tal vez a la izquierda semimodule sobre los Reales. O significa la frase "a través de los reales" requieren que los Reales conmuta con todo?
Del mismo modo, si usted es el objeto de mi uso de la terminología en la discusión de las propiedades, te agradecería si pudieras punto y sugieren más razonable de la terminología con la explicación.
