Mostrar$2$ no se puede definir en$(\mathbb{Q},+)$.

Question

Como dije, debo mostrar que$2$ no se puede definir en$(\mathbb{Q},+)$.

Intenté probarlo por contradicción al mostrar que si$2$ fuera definible, podríamos definir$\mathbb{N}$ y la multiplicación sobre$\mathbb{N}$, lo que sería imposible porque el automorfismo$x\mapsto 2x$ no Preservar$\times$ sobre$\mathbb{N}$ pero mi definición de multiplicación fue defectuosa. ¿Hay un truco fácil para este problema?

Answer 1

Sugerencia: demuestre que cualquier elemento definible en una estructura$M$ es corregido por todos los automorfismos de$M$. ¿Puedes encontrar un automorfismo de$\mathbb{Q}$ que no soluciona$2$?