¿Hay una solución analítica o aproximada de la siguiente integral?
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Mingo
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En respuesta a OP comentario, me elaborar aquí en la igualdad $$ {\rm P}( - d \le X - Y \le d) = \int_{ - \infty }^\infty {{\rm P}( - d \le X - y \le d)f_Y (y)\,dy}. $$ Un caso particular de la ley de total probabilidad nos permite calcular la probabilidad de eventos mediante el acondicionamiento de una variable aleatoria, como sigue: $$ {\rm P}(A) = \int_{ - \infty }^\infty {{\rm P}(Z = z)f_Z (z)\,dz} , $$ donde $f_Z$ es la función de densidad de probabilidad de $Z$. (Ver también p. 1 aquí; la ley de total probabilidad es un caso especial de la ley de la total expectativa.) Ahora, dejando $A$ ser el caso de que $-d \leq X-Y \leq d$ y dejando $Z=Y$, la ecuación anterior los rendimientos $$ {\rm P}( - d \le X - Y \le d) = \int_{ - \infty }^\infty {{\rm P}(- d \le X - Y \le d|Y = Y)f_Y (y)\,dy}. $$ Desde $X$ $Y$ son independientes, $$ {\rm P}( - d \le X - Y \le d|Y = Y) = {\rm P}( - d \le X - y \le d). $$ La deseada igualdad es así establecidos.
Usted puede resolver este utilizando el mismo enfoque utilizado en esta respuesta.
EDIT 1:
La integral iterada se puede expresar simplemente como $$ I = 2\pi \sigma ^2 \bigg[\Phi \bigg(\frac{{d (\mu _1 - \mu _2 )}}{{\sqrt {2\sigma ^2 } }}\bigg) - \Phi \bigg(\frac{{ - d - (\mu _1 - \mu _2 )}}{{\sqrt {2\sigma ^2 } }}\bigg)\bigg], $$ donde $\Phi$ es la función de distribución de la distribución normal estándar (confirmado numéricamente). Voy a ofrecer la derivación más tarde.
EDIT 2: Antes de dar la derivación de este resultado, aquí están algunos de los resultados numéricos de su confirmación. Deje $r_1 = r_1(d,\mu_1,\mu_2,\sigma)$ denotar la aproximación obtenida para la integral iterada y $r_2 = r_2(d,\mu_1,\mu_2,\sigma)$ la aproximación obtenida por la simple expresión de $I$ por encima. Se obtuvieron los siguientes resultados: $$ d=1,2, \mu_1=2.8, \mu_2=1.6, \sigma=1.9: r_1 = 7.125001170659572 , r_2 = 7.125000629782468 $$ $$ d=1.9, \mu_1=2.4, \mu_2=-4.6, \sigma=1.5: r_1 = 0.11438563902950714 , r_2 = 0.11438586127326182 $$ $$ d = 3.2, \mu_1=-0.4, \mu_2=8.1, \sigma=2.9: r_1 = 5.070682528645151 , r_2 = 5.070686434762869 $$ $$ d=5.2, \mu_1=-1.4, \mu_2=-3.1,\sigma=0.8: r_1 = 4.017263196283472 , r_2 = 4.017262629040601. $$
EDIT 3:
Prueba: Primero escribir la integral iterada como $$ I = 2\pi \sigma ^2 \int_{ - \infty }^\infty {\bigg[\int_{y - d}^{y + d} {f_X (x)\,dx} \bigg]f_Y (y)\,dy} , $$ donde $f_X$ $f_Y$ son las funciones de densidad de probabilidad de la ${\rm N}(\mu_1,\sigma^2)$ ${\rm N}(\mu_2,\sigma^2)$ distribuciones, respectivamente. Por lo tanto, $$ I = 2\pi \sigma ^2 \int_{ - \infty }^\infty {{\rm P}( - d \le X - y \le d)f_Y (y)\,dy} , $$ donde $X \sim {\rm N}(\mu_1,\sigma_2)$. A su vez, por la ley de total probabilidad, $$ I = 2\pi \sigma ^2 {\rm P}( - d \le X - Y \le d), $$ donde $Y \sim {\rm N}(\mu_2,\sigma^2)$ y es independiente de $X$. Por último, desde el $X-Y \sim {\rm N}(\mu_1 - \mu_2,2\sigma^2)$, $$ I = 2\pi \sigma ^2 {\rm P}\bigg(\frac{{ - d - (\mu _1 - \mu _2 )}}{{\sqrt {2\sigma ^2 } }} \le Z \le \frac{{d (\mu _1 - \mu _2 )}}{{\sqrt {2\sigma ^2 } }}\bigg), $$ donde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar. El resultado es así establecidos.
