Homología simple de un tetraedro

Question

Estoy estudiando los fundamentos de la homología en la Nakahara, Geometría, Topología y Física y estoy tratando de averiguar el (simplicial) homología grupo del tetraedro descrito por el complejo de $K=\{0,1,2,3,(01),(02),(03),(12),(13),(23),(012),(013),(023),(123)\}$.

Ya he calculado $H_2(K)=\mathbb Z$, pero estoy atascado en la $H_1(K)$.
Sé $H_0(K)=\mathbb Z$, debido a que el tetraedro está conectado, pero no quiero usar este resultado.
He encontrado

$$ Z_0(K)=C_0(K)=\{i0+j1+k2+l3\}\\ Z_1(K)=\{i[(01)+(12)+(20)]+j[(02)+(21)+(13)+(30)]+k[(02)+(23)+(30)]\}\\ Z_2(K)=\{i[(012)-(013)+(023)-(123)]\} \\ B_0(K)=\{(-a-b-c)0+(a-d-e)1+(b+d-f)2+(c+e+f)3\} \\ B_1(K)= \{(i+j)(01)+(k-i)(02)+(-j-k)(03)+(i+l)(12)+(j-l)(13)+(k+l)(23)\}\\ B_2(K)= 0 $$

Normalmente, en los ejemplos anteriores, Nakahara intenta construir un surjective homomorphism de los ciclos de grupo para lo que se descubrió que la homología de grupo.
Esto funciona para $H_0(K)$: definir $$ f\colon Z_0(K) \to \mathbb Z \qquad\text{tales que}\qquad i0+j1+k2+l3 \mapsto i+j+k+l $$ Entonces, el núcleo de $f$ es el conjunto de $0$-cadenas cuyos coeficientes se suma a $0$: este es, precisamente,$B_0(K)$. Por el primer teorema de isomorfismo, $Z_0(K)/\ker f\simeq \mathbb Z$.

Ahora, mi pregunta: ¿es posible construir un argumento similar a la conclusión de que la $H_1(K)=0$?
Yo diría que no. También, siento que esta técnica es un poco difícil... tal vez hay un mayor estándar fiable y de procedimiento, como el descrito aquí?

Answer 1

Es mucho más fácil para mostrar que sólo $B_1=Z_1$ directamente, creo. Al $H_i(X)\not\cong 0$ a menudo tienen que venir para arriba con algunas argumento ingenioso y isomorphisms para averiguar de qué forma toma, pero cuando $H_i(X)\cong 0$, solo debe mostrar que cada elemento de a$Z_i$$B_i$.

Usted solo debe mostrar que cada uno de sus generadores para$Z_1$$B_1$, lo cual es fácil - la única forma remota difícil es $$\begin{align}(02)-(12)+(13)-(03)&=\left(-(01)+(02)-(12)\right) + \left((01)+(13)-(03)\right)\\&=-\partial(012)+\partial(013)\end{align}$$ o tal vez alguna señal de ajuste es necesario, dependiendo de la definición. (edit: solucionado)

Estas primeras definiciones de homología rara vez se utilizan en la práctica después de un tiempo - hay otras maneras de calcular la homología. La razón para hacer estos cálculos es familiarizarse con los conceptos. Le ayuda a familiarizarse con abelian grupos, en general, y le ayuda a ver que hay algo que intuitivamente "geométrica" en todo este resumen, lo que parece absurdo.