Lo conjeturo: $$ \left\{\frac{y^2+z^2+2}{yz}\ \mid\ y,z\in\mathbb{N}\right\}\cap\mathbb{N}=\{4\} $$ ¿Es esto cierto? Si es así, ¿cómo se puede demostrar?
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Technophile
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Este es precisamente el tipo de cuestión que resuelve el salto de Viète. $$\frac{y^2+z^2+2}{yz}=k$$ Si $y=z$ , $\frac{2y^2+2}{y^2}=2+\frac2{y^2}$ y $y$ sólo puede ser 1, en cuyo caso $k=4$ . Ahora dejemos que $y>z$ , arreglar $z$ y $k$ y que $y$ variar como una variable $q$ podemos escribir $$q^2-kz(q)+(z^2+2)=0$$ Una raíz de esto es $y$ y el otro es $$q'=kz-y=\frac{z^2+2}y$$ así que $q'$ es un número entero positivo. Que $y>z$ implica que $q'=\frac{z^2+2}y<z$ siempre y cuando $z>2$ . Por lo tanto, $q'$ puede sustituir $y$ para obtener una solución válida más pequeña.
Debido al salto de Viète, ahora sólo el $z=1$ y $z=2$ casos deben ser considerados.
- Si $z=1$ , $\frac{y^2+3}{y}=y+\frac3y=k$ y $y$ sólo puede ser 3, por lo que $k=4$ .
- Si $z=2$ , $\frac{y^2+6}{2y}=\frac y2+\frac3y=k$ y se llega a una contradicción porque el primer término implica un par $y$ y el segundo un impar $y$ .
Por lo tanto, $k$ es siempre 4 cuando es un número natural.
wujj123456
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Solución con el Técnica de salto de Vieta
Dejemos que $k$ sea un número entero tal que $$k=\dfrac{y^2+z^2+2}{yz}\tag{*}$$ para algunos enteros positivos $y$ y $z$ . Dejemos que $(y,z)=(u,v)$ sea una solución entera positiva de (*) tal que $u\leq v$ y $u+v$ es el más pequeño posible. Entonces, tenemos que $$(y,z)=\left(ku-v,u\right)=\left(\frac{u^2+2}{v},u\right)$$ es también una solución entera positiva de (*). Sin embargo, debido a la minimidad de $(u,v)$ Debemos tener $$\frac{u^2+2}{v}\geq v\,.$$ Por lo tanto, $u\leq v\leq u+2$ .
Si $v=u$ entonces es obvio que $(u,v)=(1,1)$ y así $k=4$ . Si $v=u+1$ entonces tenemos que el número par $uv=u(u+1)$ debe dividir el número impar $u^2+v^2+1=2u^2+2u+3$ , lo cual es una contradicción. Si $v=u+2$ entonces $(u,v)=(1,3)$ es la única posibilidad, pero esto también da $k=4$ y una contradicción ya que este par no es mínimo para este $k$ .
Dejemos que $\left(a_j\right)_{j=0}^\infty$ sea la secuencia de enteros dada por $a_0=1$ , $a_1=1$ y para $j=2,3,\ldots$ , $$a_j=4\,a_{j-1}-a_{j-2}\,.$$ Por ejemplo, $a_2=3$ , $a_3=11$ y $a_4=41$ . De manera más general, $$a_j=\frac{(1+\sqrt{3})^{2j-1}-(1-\sqrt{3})^{2j-1}}{2^j\sqrt{3}}$$ por cada $j=0,1,2,\ldots$ . Se puede demostrar que todas las soluciones de (*) con $k=4$ vienen dadas por $$(y,z)=\left(a_j,a_{j+1}\right)\text{ and }(y,z)=\left(a_{j+1},a_j\right)$$ para $j=0,1,2,\ldots$ .
