Mostrando que si una ecuación tiene una solución única para una variable, entonces tiene soluciones únicas para todos.

Question

Tengo un problema y una propuesta de solución. Por favor, dime si estoy en lo cierto.

Problema: Vamos a $A$ ser una matriz cuadrada. Mostrar que si el sistema de $AX=B$ tiene una única solución para un determinado vector columna B, entonces se tiene una solución única para todos los $B$.

Solución: Si $AX=B$ tiene una única solución para algún vector columna $B$, $A$ en la reducción escalonada tiene un pivote en cada columna y $A$ puede ser reducido a $I_n$, para $A$,$\\ n \times n$. Dado que el número de ecuaciones = número de incógnitas, tendremos vector columna $(n \times 1)$ $x_i$'s = vector columna $n \times 1$ $b_i$'s. Por lo tanto, variando $B$ es equivalente a la variación de las $X$ y creará una nueva solución para cada cambio realizado a $B$.

Gracias!

Answer 1

Por lo tanto, la variable B es equivalente a la variable X y se creará una nueva solución para cada cambio realizado a B.

Esta afirmación no es exacta. Hay varias maneras de solucionarlo, dependiendo de cuánto usted sabe. ¿Sabe usted lo que no singular matrices son? ¿Sabe usted que son invertible y que si $A$ puede ser reducido a $I_n$ entonces es nonsingular? Si usted sabe que $A$ es invertible, entonces a partir de $AX = B$ puede escribir $X = A^{-1}B$, por lo que sólo hay una opción para $X$ no importa lo $B$ es.

Otra forma de ver que la solución es única (que no uso no-singularidad explícitamente) es la siguiente. Como $A$ reduce a $I_n$, al reducir la matriz ampliada $[A \ | \ B]$ hacer cualquiera de las opciones que se realicen dependerán de $B$? Intente argumentando que no importa lo que la última columna, la reducción de la matriz ampliada siempre será el rendimiento algo con un pivote en cada uno de los $n$ columnas. Por lo tanto no habrá variables independientes en la solución. Sospecho que esto es lo que tenía en mente con lo que has escrito, pero deberías explicar un poco más.

Answer 2

Su argumento es esencialmente correcta, pero el final es un poco vago. Lo que has demostrado es que si $AX=B$ tiene una única solución para algunos $B$, $A$ puede ser de fila reducido a $I_n$. Esta fila de reducción es independiente del aumento de columna en la matriz ampliada, lo que para cualquier $n\times 1$ vector columna $C$ podemos fila-reducir la matriz ampliada $[A\mid C]$ algunos $[I_n\mid Y]$, e $Y$ será la única solución a $AX=C$. Por lo tanto, $AX=C$ tiene una única solución para cada una de las $C$.

Hay muchas maneras de ver por qué esto muestra que $A$ es invertible (no singular). Si usted sabe que cuando se $[A\mid I_n]$ puede ser de fila reducido a algo de la forma$[I_n\mid D]$,$D=A^{-1}$, el resultado es claro. Si usted sabe que la fila de reducción se puede lograr por premultiplying por matrices elementales, entonces se puede argumentar que el de la fila-reducibilidad de $A$ $I_n$significa que existen matrices elementales $E_1,\dots,E_m$ tal que $E_mE_{m-1}\dots E_2E_1A=I_n$ y, por tanto,$E_mE_{m-1}\dots E_2E_1=A^{-1}$.