¿Cómo decir que una matriz es una matriz de covarianza?

Question

¿Cómo podemos saber que estas matrices son matrices de covarianza válidas? $$ C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end {pmatrix} \\ C = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1 \\ -1 & 4 & -1 \\ 1 & -1 & 4 \\ \end {pmatrix} $$

Yo sé eso

1. $C_{xy}=C_{yx}$ (es simétrico)
2. $C_{xx}= \mathrm{Var}[x] \ge 0$ (las entradas diagonales son todas positivas)

Pero quiero saber, ¿hay otras propiedades?

Answer 1

Una matriz cuadrada es una matriz de covarianza de algunos al azar vectorial si y solo si a es simétrica y positiva semi-definido (ver aquí). Positiva semi-definida significa que $$ x^{T}Cx\ge0 $$ para cada una de vectores $x$ donde $x^T$ es la transpuesta del vector de $x$.

Tenemos que \begin{align*} x^TC_1x &=\left(\begin{array}{ccc}x_1 & x_2 & x_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\-1 & 2 & -1 \\2 & -1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1 \\x_2 \\x_3\end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{ccc}x_1-x_2+2x_3 & -x_1+2x_2-x_3 & 2x_1-x_2+x_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1 \\x_2 \\x_3\end{array}\right)\\ &=x_1^2+2x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3\\ y=(x_1-x_2+x_3)^2+x_2^2+2x_1x_3. \end{align*} Si tomamos $x^T=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1\end{array}\right)$,$x^TC_1x=-2$. Por lo tanto, $C_1$ no es una matriz de covarianza.

Tenemos que \begin{align*} x^TC_2x &=\left(\begin{array}{ccc}x_1 & x_2 & x_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\-1 & 4 & -1 \\1 & -1 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1 \\x_2 \\x_3\end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{ccc}4x_1-x_2+x_3 & -x_1+4x_2-x_3 & x_1-x_2+4x_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1 \\x_2 \\x_3\end{array}\right)\\ &=4x_1^2+4x^2+4x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3\\ Y=3(x_1^2+x^2+x_3^2)+(x_1-x_2+x_3)^2\ge0. \end{align*} Por lo tanto, $C_2$ es una matriz de covarianza.