$\lim \limits_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}=1$ y la relación con $\sin'(x)=\cos(x)$

Question

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$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{x^n}{n!}$$

$$\begin{align*}\lim_{h\to 0} \frac{ e^{(x+h)}-e^x}{h}=e^x\color{blue}{\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}}=e^x\tag{1}\end{align*}$$

¿Qué tan obvio es el siguiente límite?

Creo que es obvio cuando se utiliza la regla de L'Hospital, $\frac{0}{0}$

Sin embargo no hemos tenido la derivada de $e^x$ Así que me puede explicar uno un poco sobre este límite... un poco pequeño, pero me quedé...

$$\begin{align*}\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}=1\tag{2}\end{align*}$$

Y por qué (1) contienen el hecho $\sin'(x)=\cos(x)$ y $\cos'(x)=-\sin(x)$

Answer 1

Suponiendo que se conoce la expansión en serie de $e^{x}$ tenemos

$$ e^{h} = 1 + h + \frac{h^{2}}{2!} + \cdots = 1 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}$$

Así,

$$ \frac{e^{h}-1}{h} = 1 + \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{h^{n}}{(n+1)!}$$

y por lo tanto tiende a $1$ .

EDITAR: Para la segunda parte, puedes expresar el seno y el coseno en términos de la exponencial (fórmulas de Euler...)