Número de soluciones de $\sin x= \frac x {10}$

Question

La forma más sencilla de hacer esto es trama de la gráfica de $10 \sin x$ y $y=x$ para ver el número de puntos de intersección.

¿Sin embargo, hay una solución no gráfica a este problema?

Edición: Mi problema es diferente del problema ligado porque las respuestas a las se centran sólo en soluciones gráficas.

Answer 1

Usted no puede resolver la ecuación exactamente, pero usted puede encontrar muy bien el número de soluciones.

Los extremos de la función $10\sin x-x$ se encuentran en las raíces de $10\cos x-1=0$, es decir,$\pm\arccos\dfrac1{10}+2k\pi$. Los valores en los extremos son así

$$\pm10\sqrt{1-\frac1{100}}\mp\arccos\frac1{10}-2k\pi.$$

Como el seno es delimitada por $\pm1$, mediante la resolución de $\pm10-x=0$ sabemos que ninguna raíz puede surgir fuera de $[-10,10]$. Por computación numérica de los extremos en que rango (con suficiente aproximación tal que las señales están garantizados exactos), spot $7$ cambios de signos, por lo tanto $7$ raíces.

$$\begin{matrix}x& f(x)\\\hline -10& \ge0\\ -7.8& -2.2\\ -4.8& 14.8\\ -1.5& -8.5\\ 1.5& 8.5\\ 4.8& -14.8\\ 7.8 &2.2\\ 10& \le0\\ \end{de la matriz}$$

Esta discusión se da siete partir de los intervalos para refinar las raíces por métodos numéricos, tales como la regula falsi.

Answer 2

Tenga en cuenta en primer lugar que podemos ver solamente en la parte positiva.

En segundo lugar podemos ver sólo $[0,10]$

Ahora, ¿cuántas repeticiones $\sin x$ hacer en ese tiempo? La respuesta es alrededor de $1.5$

Ahora ¿cómo partes existen en la parte positiva? $2$

Cada parte va a cierto valor y luego regresar a $0$

De aquellas cosas que podemos conseguir tenemos interacciones de $4$ $x\ge 0$

Multiplicar por $2$ y restar $1$(because $0$ is solution of both cases) y $7$

Answer 3

Si lo quieren probar cuántas soluciones existen para la ecuación de $\sin x-\frac{x}{10}$ necesita estudiar las raíces de la función:

$$f(x)=\sin x-\frac{x}{10}$$

POR EJEMPLO

$f(x)$ es raro así $f(0)=0$ (solución trivial)

por otra parte para x > 0 se puede fácilmente demostrar que:

$f(x) \to -\infty$

y existe un máximo local en $x_M>0$ tal que $f(x_M)>0$

Así existe $x_0>0$ tal que $f(x_0)=0$ y por lo tanto también $f(-x_0)=0$

con algo de trabajo usted puede demostrar que no otras raíces para $f(x)$