Demostrar que hay infinitamente muchos $z$ satisfacción $|f(z)|=|g(z)|$

Question

Ambos $f$ y $g$ funciones holomorphic no-constantes en $\mathbb C$ y $f(0)=0,g(0)=1$ demuestra que hay infinitamente muchos $z$ $|f(z)|=|g(z)|$.

¿Hay cualquier otro teorema como Liouville sobre el número de raíces de la ecuación que se puede aplicar aquí? ¿Qué método debo utilizar?

Answer 1

Considerar el cociente $q(z) = \dfrac{f(z)}{g(z)}$. Desde $f(0) = 0$ $f$ no es constante, $0$ es un aislado de cero de a $f$, y, por tanto, de $q$ (desde $g(0) = 1 \neq 0$). $q$ es toda una función de meromorphic, no constante desde $0$ es un aislado de cero.

En particular, $q$ es no acotada. $q \colon \mathbb{C} \to \widehat{\mathbb{C}}$ es un mapa continuo, por lo tanto $V = g(\mathbb{C})$ está conectado. $V$ contiene puntos con $\lvert w\rvert < 1$ y los puntos de con $\lvert w \rvert > 1$, por lo tanto también contiene puntos con $\lvert w\rvert = 1$. Deje $z_0$ ser un punto con $\lvert q(z_0)\rvert = 1$. $q$ es una asignación abierta (ya que no es una constante función de meromorphic), por lo tanto $q(D_1(z_0))$ contiene un disco de $D_\varepsilon(q(z_0))$. El disco contiene una infinidad de puntos de con $\lvert w\rvert = 1$, por lo tanto, hay una infinidad de puntos de $z \in D_1(z_0)$ con $\lvert q(z)\rvert = 1$. $\lvert q(z)\rvert = 1 \Rightarrow \lvert f(z)\rvert = \lvert g(z)\rvert$.

Answer 2

En realidad es todo mucho más. Puesto que $f/g$ es una función meromorphic no constante, por "pequeño" Teorema de Picard a lo más hay dos puntos del plano complejo extendido que echa de menos.